怎樣用Stolz求這個極限？

01-15

已知 $a_{n+1}= ln(1+a_{n} ),a_{1}>0,$ 求 $lim_{n ightarrow infty}{frac{n(na_{n}-2)}{ln n} }$ 。
ps：麻煩不要舉報，本人做了幾個小時沒做出來，不是什麼個人任務。

2016.10.15 更

有評論指出，對 Stolz 公式不太了解，我在後面再附上 Stolz 公式及其證明，並簡單列舉一下可以考慮使用 Stolz 公式求極限的題目類型，之前對 Stolz 公式不了解的同學可以先拉到下面看一下 Stolz 公式，再回來看這道題目的解答，也算是 Stolz 公式的一個應用，順便體驗一下 Stolz 公式在求解數列極限時的威力。

另外改進了解答中的表述及細節問題，對解答過程中的想法也作了說明，以期具備數列極限知識的同學都能看懂這篇答案。

感謝各位的點贊，歡迎大家在評論區批評指正。

======原答案======

謝邀~

這種形式的題目首先考慮的就是利用 Stolz 公式，只不過這道題的過程要稍微曲折一點。

易知， $a_n>0$ 且 $a_{n+1}=ln(1+a_n)，因此，<img src=$ 嚴格遞減且有下界，故極限存在，設為 $a$ ,則 $a=ln(1+a)$ ,因此 $a=0$ ,即 $lim_{n ightarrow infty} a_n=0.$

先來觀察一下要求的極限 $frac{n(na_n-2)}{ln n}$ ,由於 $frac{n}{ln n} ightarrow infty$ ,因此，若要求的極限存在，則必有 $na_n-2 ightarrow 0,$ 這啟發我們先來證 $lim_{n ightarrow infty}na_n=2$ .

由於 $a_n$ 嚴格遞減趨於 0,故 $frac{1}{a_n}$ 嚴格遞增趨於正無窮。因此由 Stolz 公式可得

$lim_{n ightarrow infty} na_n =lim_{n ightarrow infty} frac{n}{frac{1}{a_n}} =lim_{n ightarrow infty} frac{(n+1)-n} {{frac{1}{a_{n+1}}} -frac{1}{a_n}} =lim_{n ightarrow infty} frac{a_n a_{n+1}}{a_n-a_{n+1}} =lim_{n ightarrow infty} frac{a^2_n}{a_n-ln(1+a_n)}=2.$

後面要多次利用 $lim_{n ightarrow infty}na_n=2$ 來拿掉所求極限中的無窮大 n，將要求的極限轉化為僅與 $a_n$ 有關的式子。

下面來求 $mathrm{I} =lim_{n ightarrow infty} frac{n(na_n-2)}{ln n} =lim_{n ightarrow infty} na_n cdot frac{n-frac{2}{a_n}}{ln n}.$

由於 $lim_{n ightarrow infty}na_n=2,$ 故只需求 $mathrm{J}=lim_{n ightarrow infty} frac{n-frac{2}{a_n}}{ln n}.$

由 Stolz 公式，

$mathrm{J}=lim_{n ightarrow infty} frac{n-frac{2}{a_n}}{ln n} = lim_{n ightarrow infty} frac{1-frac{2}{a_{n+1}}+frac{2}{a_n}}{ln(1+frac{1}{n})} =lim_{n ightarrow infty} n cdot (1-frac{2}{a_{n+1}}+frac{2}{a_n}).$

又 $lim_{n ightarrow infty} frac{a_{n+1}}{a_n} =1,$ 因此

$mathrm{J} =lim_{n ightarrow infty} n cdot frac{a_n a_{n+1} -2a_n +2a_{n+1}}{a_n a_{n+1}} cdot frac{a_n a_{n+1}} {a^2_n} =lim_{n o infty} n cdot frac{2a_{n+1}-2a_n+a_n a_{n+1}}{a^2_n}.$

注意到 $a_{n+1}=ln(1+a_n)$ 及 $lim_{n o infty} a_n =0$ ，故由 Taylor 展開得