怎樣用Stolz求這個極限?
已知求。
ps:麻煩不要舉報,本人做了幾個小時沒做出來,不是什麼個人任務。
2016.10.15 更
有評論指出,對 Stolz 公式不太了解,我在後面再附上 Stolz 公式及其證明,並簡單列舉一下可以考慮使用 Stolz 公式求極限的題目類型,之前對 Stolz 公式不了解的同學可以先拉到下面看一下 Stolz 公式,再回來看這道題目的解答,也算是 Stolz 公式的一個應用,順便體驗一下 Stolz 公式在求解數列極限時的威力。
另外改進了解答中的表述及細節問題,對解答過程中的想法也作了說明,以期具備數列極限知識的同學都能看懂這篇答案。感謝各位的點贊,歡迎大家在評論區批評指正。======原答案======
謝邀~
這種形式的題目首先考慮的就是利用 Stolz 公式,只不過這道題的過程要稍微曲折一點。
易知,且嚴格遞減且有下界,故極限存在,設為,則,因此,即
先來觀察一下要求的極限,由於,因此,若要求的極限存在,則必有這啟發我們先來證.
由於嚴格遞減趨於 0,故嚴格遞增趨於正無窮。因此由 Stolz 公式可得
後面要多次利用來拿掉所求極限中的無窮大 n,將要求的極限轉化為僅與有關的式子。
下面來求
由於故只需求
由 Stolz 公式,又因此
注意到及,故由 Taylor 展開得
因此,將代入整理可得
故因此----------------------
附: Stolz公式及其證明
截圖來自南大梅加強老師《數學分析》 P.51~P.52,電子版可在作者主頁 找到 http://maths.nju.edu.cn/~meijq/calculus/math1.pdf
註:Stolz 公式相當於 L"Hospital 法則的離散形式。
可以考慮使用 Stolz 公式求極限的題目類型:
1、數列極限相關如果題目中給出了與的遞推關係,而所要求的極限中僅與有關,這時可以考慮使用 Stolz 公式(注意要滿足 Stolz 公式的條件),因為這樣能在所求的極限中產生,這時候再利用遞推關係往往就比較容易求得結果。如這道題中求就是這樣的思想。比如還有這道2、含有和式的極限
這種情況使用 Stolz 公式能消去和式,從而使極限易求。如再如都屬於這種情況。
以上例子截圖均來自南大梅加強老師《數學分析》P.53~P.54
電子版:http://maths.nju.edu.cn/~meijq/calculus/math1.pdf暫時想到這些,歡迎大家補充討論~這道題需要多次利用O"Stolz定理,並需要綜合運用Heine定理和Taylor公式。
整個解題分為三大步:
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