為什麼整數集作為直線的子集是完備的度量空間？

01-15

整數集沒有收斂子列有何談完備？

另外完備集是要求每一個基本列收斂到集合中的點（閉集）每個點都是收斂點（自密集）兩個條件。而完備的度量空間只要求每個基本列都收斂，和完備的的定義似乎差了自密，怎麼理解？

謝邀。首先是翻譯害人，你說的那個完備集，應該指的是perfect set，一般翻譯成完全集（也有翻譯成完美集的，聽起來略中二）。完備度量空間是complete metric space.

所以為什麼學數學要學好英語以便閱讀原版書籍啊。。國內有些翻譯根本就是不規範的，任性翻啊。。

然後再仔細看看complete metric space的定義。它可並沒有說，取的Cauchy列裡面的點，不能是同一個點。對整數集而言，它的Cauchy列就是，前面有限項我不管，但從某一項開始，通通都是某個固定的數。這樣的數列當然是收斂的，因為就是常數序列嘛。。

確實是完備的度量空間……一會兒補過程

---------------------------以下是過程---------------------------

如果對 $x,,yinmathbb{R}$ ，定義 $d(x,y):=|x-y|$ ，則顯然 $(mathbb{R},d)$ 成為完備的度量空間，從而由於 $mathbb{Z}subsetmathbb{R}$ ， $(mathbb{Z},d)$ 自然成為一個度量空間。下證完備性，事實上，對任意Cauchy列 $left{x_n ight}_{n=1}^inftysubsetmathbb{Z}$ ，存在 $N_0inmathbb{N}$ ，使得當 $nge N_0$ 時， $left|x_n-x_{N_0} ight|<frac 12$ 。但是對任意 $x,,yinmathbb{Z}$ ，如果 $x eq y$ ，則 $|x-y|ge1$ 。從而當 $nge N_0$ 時， $x_n=x_{N_0}$ 。從而 $left{x_n ight}_{n=1}^infty$ 有極限 $x_{N_0}inmathbb{Z}$ 。從而 $(mathbb{Z},d)$ 完備。

類似的，如果在一個集合 $X$ 上賦予平凡度量 $d$ ，即對任意 $x,,yin X$ ，定義

$d(x,y):= egin{cases} 0, x=y, \ 1, x eq y, end{cases}$

那麼 $(X,d)$ 成為完備度量空間，證明完全類似於上面的證明

從度量空間完備化定理上可以解釋，Z在定理的方法下將被構造為Z並且這是唯一一個Z在其中稠密的完備空間。