一次丢5颗骰子，怎么快速计算骰子点数和的概率分布？

01-15

如果将5颗推广至n颗，有什么计算公式。可以尝试用编程来解决，或者用概率论与数理统计的知识解决，最好给出推理过程。

丢一颗骰子，结果的分布列为 $[0,1,1,1,1,1,1]/6$ （下标从0开始）。

丢n颗骰子，结果的分布列为n个上述分布列的卷积。

卷积可以用傅里叶变换快速计算：n个相同分布列的卷积，在频域就是该分布列频谱的n次方。

Matlab代码：

n = 100; p = zeros(6 * n + 1, 1); % 掷n颗骰子，最大总点数为6n p(2:7) = 1/6; q = ifft(fft(p) .^ n); % 这就是n颗骰子总点数的分布列，会有微小的浮点误差

可以用母函数啊， $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n$ 展开之后对应幂次的系数就是出现的这个和的可能情况的总数，代入x=1可以得到所有系数的和是 $6^n$ ，所以折合成概率就是

$frac{(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) ^ n}{6^n}$

可以变形写成

$frac{x^n(x^6 - 1)^n}{6^n(x-1)^n}$

或者

$frac{x^nprod_{k=1}^5(x - e^{ifrac{kpi}{3}})^n}{6^n}$

或者

$frac{x^n(x+1)^n(x^2 - x+1)^n(x^2 + x +1)^n}{6^n}$

后面两种形式用程序展开应该不难。

当然，FFT也是极好的，复杂度只有O(nlogn)。

可以转移概率矩阵

计算第n次转移的概率

function [ out ] =get_dice_trans_mat( n )

r = 5*(n-1)+1;

c = 5*n+1;

out = zeros(r,c);

for i = 1 : r

for j = 1 : c

if(j-i &< 6 j &>=i)

out(i,j) = 1/6;

end

主程序：

clear;

clc;

t = 10;

res = 1;

for i = 1:t

res = res*get_dice_trans_mat( i );

end