泛函分析在經濟領域有什麼應用嗎？

01-15

我也補充一個，做機制設計的時候經常要求解帶激勵相容約束的問題，把約束局部化加上單交條件以後基本就是純粹的動態優化問題了，這部分分析需要用泛函的東西。像Amador，Werning和Angeletos（2006）年的文章就用了推廣的拉格朗日方法來做這種問題，求導換成了Gateaux微分，拉格朗日運算元變成了特定賦范空間上的一個泛函。這一塊文章不少，基本套路都是討論一下效用函數，然後寫出激勵約束和其它約束，化簡一下用泛函直接搞，泛函不行就做不動。

作為一個應用數學研究生和經濟學博士（研究方向是經濟增長和RBC理論），我想說泛函分析在經濟學中的作用有以下幾點：

1.價格體系本身是商品空間上的一個線性泛函，利用Hahn-Banach定理我們可以非常容易地證明福利經濟學第二定理。

2.要想嚴格地掌握最優控制，需要泛函分析的基礎。只是單純應用的話倒不必要，但是我還是強烈建議經濟學的博士生應該掌握Banach空間的微分學，這不光是變分法的問題，而且涉及到經濟學很多常用的非線性動力學問題。

對於隨機最優控制問題，我們一般有隨機Pontryagin最大值原理和Hamilton-Jacobi-Bellman方程兩種主要處理方式，HJB方程收斂性需要壓縮映射原理。詳情見盧卡斯《經濟學動態遞歸方法》。

4.不動點論證。這一塊嚴格來說屬於拓撲學而非分析學，不過泛函分析中很大一部分都在講拓撲方法。一般均衡理論是這一塊內容的標杆，在更複雜的問題中，當一般的不動點定理都失效的時候，我們需要藉助映射度，作為最終的解決手段。

總之，就我了解的前沿現代宏觀經濟學來說，泛函分析與拓撲學的作用日益顯著，一如他們在量子力學和廣義相對論中的那樣。

補充一個更簡單的，banach不動點定理，也稱作壓縮映射定理。一般宏觀給出一個動態優化問題，然後寫出HJB方程，做value function iteration。只要能證明是壓縮映射，那麼值函數收斂，就可以數值逼近了

動態優化需要變分法的基礎，變分法屬於泛函分析的內容。

2016.1.23 補充：就是@豬月提到的內容～

聽說納什均衡存在性的證明用到了Brouwer不動點定理。

還有角谷靜夫定理在證明經濟學市場中全局平衡的存在性有很大作用。

各種不動點定理，比如Kakutani定理。

去看看理論計量的證明……全都是泛函那些東西…