初學狹義相對論發現的一些悖論如何解答？

01-15

1.火車以接近光速穿過一個和火車一樣長的山洞。在車上人看來長度山洞變短，火車比山洞長。在山洞外的人看來火車變短，山洞比火車長。那麼山洞外的人此時拉起山洞兩端閘門能否把火車關在裡面？
2.和第一題類似，一輛高速行駛的汽車駛向一道和汽車一樣長的窄縫，從車上人和地上人兩個參考系看到窄縫和汽車相對長度不一樣，汽車是否會掉進窄縫中？（應該和第一題解答一樣吧。）
3.地球上一人觀察距離地面很近的勻速高速飛行的飛行器。飛行器上人看到人的始終變慢了。地球上人看到飛行器上人的時鐘變慢了。當飛行器飛到基站上空時，地球上人和飛行器向基站發射自己當時的時間訊息。請問是誰的時鐘變慢了?（這裡不涉及加速減速過程，並不是雙生子佯謬。）

4.這個是科普書裡面看到的：一艘高速行駛的潛艇，當其加速時，潛艇上的人看到海水相對潛艇的速度變快了。那麼潛艇的運動質量變小，打破浮力與重力的平衡潛艇會上浮。但是在海水看來，潛艇的速度變大，運動質量增大，那麼重力大於浮力則潛艇會下沉，到底怎麼解釋呢?

先洗個腦：

相對論是關於不變性的理論，不是鐘慢尺縮！

因為很重要，所以重複三遍！

我又要安利老梁的書了（其實是我懶得畫圖也懶得寫太多了…… 抱歉，我很快要考一個重要考試）。騷年你看這個目錄是不是很給力？

去噹噹上買《微分幾何入門與廣義相對論（第二版）》（作者：梁燦彬，周彬）吧，只買上冊就行了。

先說第四題，請把那本「科普」書扔了！我們到底要批判多少遍「動質量」才能徹底把它批倒批臭！@Minglei Xiao

如果把地球加速至光速或接近光速，會發生什麼？ - 王力樂的回答

一個質量、能量與時間聯繫的試探性觀點？ - Minglei Xiao 的回答

實在沒精力再寫了，直接引用自己和基友的答案了，請原諒。

再說第一、二題。「關上前後門」兩個事件，在實驗室參照系中，是同時發生的——這意味著這兩個事件之間是類空間隔，洛倫茲變換將保持這個間隔仍然類空。類空間隔無所謂前後。所以：

1. 假如你關上之後立即打開，那麼，在火車上的人看來，那兩扇門的開閉不是同時發生的，會是前門在你屁股進洞前開閉了一下，後門在你車頭出洞之後開閉了一下；

2. 假如你不打開，且假定你的門夠硬，那麼，不管你的火車有多麼硬，作用力也只能以不超過光速的速度在火車內傳輸，所以火車會「被壓縮」，縮到一個比山洞短的長度上，停下來。

以下摘自老梁的書的第 151 頁：

第三題，請給定對鍾方式，才能給出「誰的慢了」。如果飛船不回到地球附近，那麼他們就沒法在常規意義下「對鍾」。或者，你也可以定義「對鍾」為如下過程：

1. 地球向飛船發送一個信號；飛船接到該信號後，返回一個信號。地球人記錄發送時間以及返回時間；地球人記錄自己發送的時間 t1 和接到飛船返回信號到達地球的時間 t2

2. 重複1，得到 t3 和 t4

那麼，請你自行計算 t1, t2, t3, t4，並比較它們。

以及，雙生子佯謬跟加速減速過程其實一！點！兒！關！系！也！沒！有！以下摘自老梁書的第 149 和 150 頁：

題主要是在北京，周末去保福寺橋的晨興數學中心聽聽老梁講課吧。他除了當教授，還是 IBM （International Brotherhood of Magicians）的成員；每學期最後一節課，他都會當堂給大家表演魔術。

火車以接近光速穿過一個和火車一樣長的山洞
那麼山洞外的人此時拉起山洞兩端閘門

咳咳，涉及到相對論的時候，你要仔細想一想你說的每一句話，可能都是含混不清的

比如這個一樣長，是指什麼？靜止時一樣長還是火車開起來後一樣長？

比如閘門有兩個，在山洞參考系的人看來是同時關門，在火車參考系的人看來可不是

第3個問題，你事先沒有對準過時間，兩個走時不準的表，無所謂誰慢誰快

因為收到顯示的時間是：對準過的時刻（這個題設條件不足）+經歷的時長（時長有尺縮鐘慢效應）

第四題很有意思，查了一下這個叫「潛水艇悖論」。有兩篇文章可供參考：

Relativistic buoyancy這篇主要用等效原理和狹義相對論；

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0305106這篇用了廣義相對論，文末給出了狹義相對論的近似，回到上一篇文章的結論。

把題目再表述一下：

假設一艘矩形的潛艇，其密度和海水的密度相同，均為 $ho_0$ 。現在潛艇以某一速度恆定深度行駛。在與海水靜止的參考系看來，潛艇沿前進方向的長度收縮，且質量增加，密度變為 $gamma^2 ho_0$ ，因此會下沉；在與潛艇靜止的參考系看來，同樣地，海水的密度變為 $gamma^2 ho_0$ ，因此會上浮。

結論是：由於浮力涉及到了重力，因此要把這一效應也考慮進去，得出的結果是潛艇會下沉，且加速度為 $g(gamma^2-1)$ 。

第一第二兩題是錯是。

第三題：一樣

第四題：運動質量不等於實際質量。運動質量的概念只能用於車子在路面上這樣的情況，潛艇在水中受到的是水的四面包圍的壓力，而不是像路面一樣只來自下方，汽車對路面的壓力跟質量有關，但潛艇的浮力只跟體積有關，跟質量無關，所以潛艇的運動質量變化不會引起浮力變化。嚴格講，這個題也出錯了。