在泛函和偏微等學科中，為什麼要引進「弱」的概念?比如弱解、弱導數、弱收斂、弱調和等等。

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如題

弱是指對應的拓撲比範數拓撲具有更少的開集, 這樣就有更多的緊集, 更容易對各種極限操作封閉. 不過也不能太弱, 否則描述不夠精細. 現在的概念比較平衡, 拓撲足夠弱, 使得方程的解存在, 同時又不至於太弱, 使得弱解與經典解吻合.

找偏微分方程的解就像找女朋友，一開始想找女神(強解)，發現太難了，只能降低要求，先找個妹子(弱解)，再把她變成女神。

然後發現找個妹子也太難了，只好先找個漢子，再把他變成妹子。。。

1. 為什麼要考慮弱解？

第一個原因：一般而言，物理上的系統如果沒有耗散，這個系統的運動狀態可以由一個非線性雙曲方程來描述（比如Euler方程或者波方程）。一般而言，即使在小初值的情形下，想得到一個雙曲方程經典解整體存在性是難的，因為非線性性往往可以導致解在有限時刻blow up。即使是有耗散的情形下（比如Navier-Stokes方程）一般而言也只能期待小初值的整體存在性，並且對初始值的正則性要求很高，所以人們不得不考慮弱解。

第二個原因：弱解本身有它自己的物理意義。比如：物理上有三種基本的非線性波：激波，稀疏波，接觸間斷，它們都是Euler方程的弱解。

2. 什麼是弱解？它和經典解差多遠？

弱解一般可以由distribution，並且附加一些條件來定義，這些條件有的是對解的正則性（存在性需要的一些緊性）有要求，而有的條件是為了剔出某些非物理的解（比如熵條件）。由於弱解一般在distribution意義下滿足方程，所以只要可以提高弱解的正則性，那麼就可以保證弱解也是一個經典解。但是這一步往往是困難的，因為在在弱解框架下很難得到很好的估計。

退而求其次罷了。

弱的引入是為了解決某些空間的拓撲下有界閉集沒有有限開覆蓋的問題不能開覆蓋很多事情都沒法從無窮降到有限去分析

歸根到底是因為原來空間的拓撲開集太多了因此沒法有限開覆蓋

引入弱就是為了在保證我們想研究的空間中運算元的連續性不被破壞的前提下盡量縮小開集的數量此時定義的新的開集比較少的拓撲下的連續就是弱連續了

首先得明白賦范空間是什麼東西，與其說賦范是給每個元素定義一個長度，不如說通過三角不等式給集合賦予了一個近乎於歐式空間的結構，只是僅僅這麼做還不能知道空間的維度是多少而已，那麼問題來了有限維空間中有界閉集等價於緊集，那麼再加上完備性，所以柯西序列——那種描述一個序列趨近於無窮時，波動會越來越小的條件就足夠推出在這個結構上存在極限，我們叫他依範數收斂、即強收斂，從這裡可以看出，依範數收斂本質上說的是對於結構的收斂。

在有限維空間中，{an}的變化趨勢越來越小就能推出這個序列在結構上存在極限了，但是問題來了，無限維空間中，僅僅通過在序列末端的變化趨勢越來越小這個條件，是不足以推出存在極限的，不過在結構上，一個序列的變化趨勢越來越小依然算是一個相對非常好的性質，即便他不存在極限。所以我們就把它定義成弱收斂，它的定義方式是對於任意的有界線性泛函，這個序列在給出的那個有界線性泛函下所對應的泛函數列收斂，這就很有趣了，因為泛函是把空間中的元素映成數，而數是在有限維空間上的，這相當於一個降維的過程，無限維空間中的序列在末端波動很小時，雖然在原來的空間中不收斂，但是這個序列投射到有限維數集上就是收斂的。

而那個定義中為什麼是要說對任意泛函都成立呢？主要是哈恩-巴拿赫定理中有個推論：任意賦范線性空間存在有界線性泛函使得在一個真子空間上這個泛函恆等於0，而其他的某個x的泛函值等於1，這會導致，那些根本不滿足在原來的空間結構上，末端波動越來越小，也就是說某些根本連柯西收斂條件都不滿足的序列，依然可以在某個泛函下對應的數列直接變成常數列，這就有點尷尬了，本來是要減弱條件把那些無窮維空間中的雖然沒有極限，但是末端變化趨勢非常小的序列用一個弱收斂的概念去描述它相對較好的性質，結果我們發現，如果不小心謹慎一點，就可能會使得那些性質根本就不好的序列也滿足弱收斂的定義，這就成了漏網之魚。

因此我們必須得想個辦法避免那些很離譜的序列也滿足弱收斂的概念，好在哈恩-巴拿赫定理還有個推論，如果x不等於y一定存在泛函f使得f（x）不等於f（y）,所以這就很幸運了，我們只需要在定義中說清楚那個序列如果是弱收斂的，必須對於任意的泛函，都有序列對應的泛函數列收斂，這就嚴格地刻畫了那種在無限維空間中末端波動非常小的序列的性質——弱收斂。

在超音速流場中，有弱間斷面和強間斷面之分，弱間斷面是膨脹波或壓縮波，通過它流體速度和壓強是連續的，但速度的一次導可能間斷，而強間斷面是激波，通過它流體的速度和壓強就是間斷的。

描述流場的方程組是非線性二階偏微分方程組，不知道流場中弱間斷面和強間斷面是不是與偏微分方程組的弱解和強解相對應呢？