當單元劃分較密，即單元長度較短時，剪切變形的影響是否會加大？請說明或證明之。

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當桿件的截面高度與桿長的比值越大時，則剪切變形的影響越大。請問，當單元劃分較密，即單元長度較短時，剪切變形的影響是否會加大？請說明或證明之。

結構懂得太少，基本不懂，看上面答案全是星星……問題跟有限元相關，不知道你是不是在問剪切自鎖（shear locking）？如果是的，那麼靜態問題（不考慮質量）當採用線性單元，並且單元aspect ratio很差（單元很細長）的時候，會有這個locking出現，具體表現是在懸臂樑自由端加剪力，變形遠遠小於解析解。根本原因是線性單元每個方向兩個積分點只能精確插值3次函數中6項其中的4項。解決的辦法，簡單粗暴就是提高單元的aspect ratio，像你說的單元畫密一點。還有別的方法，比如選擇性縮減積分(selective reduced integration)。對於剪切部分用一個積分點。一般好一點的FEM書里應該都可以找到詳細的表達式。

Locking這裡還有因為泊松比趨近於0.5的volumetric locking。還有如果粗暴縮減積分導致的hourglass現象。所有這些都是不合常理(not physical)的變形方式，在分析的時候都要注意。

有限元都是鬼子教的，很多術語不知道怎麼表述，見諒。

題主的這個問題實際上問得有點紕漏，我想，應該先來澄清一些概念，之後，問題不言自明。以下示均布荷載作用的懸臂樑為例：

取 $frac{x}{L}=xi$ ，並令 $frac{EI_{z}}{k_{s}AGL^2}=alpha sim left(frac{h}{L} ight)^2$ ，直接給出位移分布結果：

$u_{y}=frac{q_{y}L^4}{EI_{z}}left[frac{1}{24}xi^2left(xi^2-4xi+6 ight) +frac{1}{2}alphaxileft(2-xi ight) ight]$

中括弧里兩部分，第一部分是彎曲位移，第二部分是剪切位移。

現在我們再拋出兩種問題：

（1）短粗梁比細長梁剪切效應明顯：這實際上是指 $alpha$ 越大，剪切位移部分就越明顯，這從上面的位移表達中也可以明顯看出。

（2）如題主所說的「單元長度較短時，剪切變形的影響是否會加大」：假定我們把以上的懸臂樑等分成 $n$ 個單元，作為一個典型，我們考察最左邊的一個單元（靠近固定端）的右節點處的位移，即 $xi=frac{1}{n}$ 處的位移；實際上，隨著 $n$ 的增大，該位移中彎曲與剪切部分之間進行比較，就是在闡述「單元長度較短時，剪切變形的影響是否會加大」。那麼就可以直面問題了：

（A）當我們認定該梁是細長梁時，會直接採用Euler-Bernouli模型，即直接粗暴令 $alpha=0$ ，那就沒啥好說的了；

（B）如果我們就採用Timoshenko模型，即 $alpha$ 取為有限值，隨著 $n ightarrow infty$ ，易見彎曲位移部分是剪切位移部分的高階無窮小。這點其實很好理解：本構層面上，彎矩線性地決定曲率，而曲率是與位移的二階導數相關的；剪力決定剪應變，而剪應變是與位移的一階導數相關的；此即 $u_{y}$ 的彎曲部分為 $xi$ 的二階及更高階量，剪切部分為 $xi$ 的一階及更高階量的原因的定性解釋。

該問題實際上還涉及到一個另外的問題：

針對低階Timoshenko單元的剪切閉鎖問題，我們想到：一方面梁變得越來越細長，即 $alpha$ 不斷減小；一方面單元劃分越來越密；這分別都意味著什麼？

在單元層面，我們關注的單元高長比實際上是 $alpha^*=n^2alphasim left(frac{h}{L/n} ight)^2$ ；實際上， $frac{1}{alpha^*}$ 是消除剪切剪切效應的罰因子。或者，用不甚嚴謹的說法：單元高長比越大，剪切效應越顯著。

但是我們必須意識到， $alpha^{*}$ 不僅與結構外形參數 $alpha$ 有關，還與單元劃分 $n$ 有關。如果 $alpha$ 很小，細長梁，當 $n$ 取的較小時，剪切閉鎖現象就會很明顯；當進行單元加密，每個單元的高長比增大，整根梁是細長的，但是用足夠多的短粗的梁單元來模擬，此時梁內存在的不是很顯著的剪切效應則都能夠體現出來。

單元越小，該單元內的剪切效應的確會更明顯，但是不要忘了，單元長度小意味著這個單元對結構整體效應的貢獻也小。梁的整體剪切效應，還是體現在整體高長比 $alpha$ 。