如何用基本的微積分知識詳細推導出開普勒第一定律？

01-15

在網上搜了很多文章，要麼語焉不詳，跳躍性很大，要麼出現太多未解釋的物理量，無法理解。請問哪位大神可以用比較詳細的步驟用牛頓三定律和萬有引力定律推導出開普勒第一定律？

謝邀.

舉頭三尺有wiki……

個人感覺，這樣的提問方式會更好一點：

我在網上看了很多文章，其中，例如這一篇（此處應當有鏈接或圖片），前面能夠看懂，讀到這一行（此處應當有圖片或標號）的時候感覺語焉不詳（其實我也不知道這個詞什麼意思……），然後請問這裡下面的這個式子（此處應當有圖片或標號）是怎麼得出來的（跳躍性很大應該是這個意思吧……）？

還有這一篇（此處應當有鏈接或圖片），其中出現的這個這個和這個物理量沒有解釋（太多……至少得三個吧），請問是什麼含義？

題主怎麼看？

先證明開普勒第二定律:相同時間內行星和太陽連線掃過的面積相同(角動量守恆的推論)

力矩 $vec{M}=frac{d}{dt}vec{I}=vec{r} imes vec{F}$ 等於角動量變化率.

萬有引力作用下角動量守恆 $frac{d}{dt}vec{I}=vec{r} imes (frac{GMm}{r^{3}})vec{r}=0$

角動量大小 $left| vec{I} ight|=left| vec{r} imes vec{P} ight|=rmvsin heta=mfrac{Delta scdot rsin heta}{Delta t}$

掃過的面積 $Delta Aapprox frac{1}{2}rDelta scdot sin heta$

其中 $heta$ 為動量和位矢的夾角,化差分為微分,就得到

$frac{dA}{dt}=frac{I}{2m}$

即掠面速度不變.

QED

再證明開普勒第一定律:行星繞太陽的軌道是以太陽為焦點的橢圓(圓錐曲線)

運動方程 $ddot{vec{r}}=-frac{GM}{r^{3}}cdot vec{r}$

再由機械能守恆 $E=frac{1}{2}mdot{vec{r}}^{2}-frac{GMm}{r}$ 和角動量守恆 $vec{I}=vec{r} imes mdot{vec{r}}$

構造Runge-Lenz矢量 $vec{B}=dot{vec{r}} imes vec{I}-GMmfrac{vec{r}}{r}$

其中 $frac{d}{dt}(dot{vec{r}} imes vec{I})=-frac{GMm}{r^{3}}vec{r} imes(vec{r} imesdot{vec{r}})=-frac{GMm}{r^{3}}left((vec{r}cdot dot{vec{r}})vec{r}-(vec{r}cdot vec{r})dot{vec{r}} ight)=-frac{GMm}{r^{2}}(dot{r}vec{r}-rdot{vec{r}})=frac{d}{dt}left(GMmfrac{vec{r}}{r} ight)$

於是 $frac{dvec{B}}{dt}=0$

利用角動量定義 $frac{1}{m}vec{I}^{2}=(vec{r} imes dot{vec{r}})cdotvec{I}=vec{r}cdot (dot{vec{r}} imesvec{I})=vec{r}cdot (vec{B}+frac{GMmvec{r}}{r})$

將矢量轉換為標量就得到 $I^{2}/m=rBcos heta+GMmr$

可以化為圓錐曲線方程 $r=frac{I^{2}/GMm^{2}}{1+frac{B}{GMm}cos heta}$

QED

最後是開普勒第三定律:行星繞行的軌道周期的平方和半長軸的三次方成正比

根據前面得到的掠面速度 $frac{dA}{dt}=frac{I}{2m}$ 可以得到行星運轉周期為 $T=frac{2mpi ab}{I}$

再由圓錐曲線方程可以得到遠拱點和近拱點分別為 $r_{pa}=frac{I^{2}/GMm^{2}}{1-frac{B}{GMm}}$ 和 $r_{pe}=frac{I^{2}/GMm^{2}}{1+frac{B}{GMm}}$

求得橢圓的半長軸和半短軸分別為 $a=frac{I^2/GMm^{2}}{1-frac{B^{2}}{G^{2}M^{2}m^{2}}}$ 和 $b=frac{I^2/GMm^{2}}{sqrt{1-frac{B^{2}}{G^{2}M^{2}m^{2}}}}$

得到關係式 $b=sqrt{afrac{I^2}{GMm^2}}$ 代入得到 $T=frac{2pi a^{3/2}}{sqrt{GM}}$

QED

最後吐槽知乎的公式編輯,加了向量符號之後變得巨難看無比.

《天體力學與天體動力學》講得很細，而且感覺矢量分析比微積分更6

由牛頓第二定律與萬有引力公式，經過坐標系變換可得

$ddot{m{r}}=-frac{mu m{r}}{r^3}$

此公式無論在慣性系，質心系還是相對運動的坐標系中都成立，只是 $mu$ 的表達式不同

然後見證奇蹟的時候

面積積分

$m{r} imes ddot{m{r}}=-frac{mu}{r^3}m{r} imes m{r}=0$

積分

$m{r} imes dot{m{r}}=m{h}$

標量形式 $r^2 sin alpha =h$

duang, 角動量守恆，開普勒第二定律

$m{r}cdot m{h}=m{r} cdot m{r} imes dot{m{r}}=0$

duang, 軌道平面不變

拉普拉斯積分

$m{h} imes ddot{m{r}}=- frac{mu}{r^3} m{h} imes m{r}=-frac{mu}{r^3}left[ left( m{r} imes m{v} ight) imes m{r} ight]=-frac{mu}{r^3} left[ m{v}left( m{r}cdotm{r} ight) -m{r}left( m{r}cdotm{v} ight) ight] =-frac{mu}{r^2}left[ rm{v}-rm{r} ight] =-mu frac{mathrm{d}}{mathrm{d}t}left( frac{m{r}}{r} ight)$

積分

$m{h} imes m{v}=-mufrac{m{r}}{r}-mum{e}$

點乘

$muleft( m{r}cdotm{e}+r ight) =m{r}cdotleft( m{v} imesm{h} ight) =m{r} imesm{v}cdotm{h}=h^2$

設 $m{r}cdotm{e}=recos f$

duang, 橢圓軌道，開普勒第一定律

$r=frac{h^2/ mu}{1+ecos f}$

定義 $h^2/mu=p=aleft( 1-e^2 ight)$

活力積分

$m{v}cdotddot{m{r}}=-frac{mu}{r^3}m{r}cdotm{v}=-frac{mu}{r^2}dot{m{r}}$

積分

$frac{1}{2}v^2=frac{mu}{r}+C$

為確定常數C，可以取軌道上近星點處， $r=a(1-e)$ ， $v=rdot{ heta}=frac{h^2}{r^2}$

$frac{1}{2}v^2=frac{mu}{r}-frac{mu}{2a}$

duang,能量守恆，動能加勢能等於總機械能

橢圓運動的開普勒方程

對於橢圓運動，h等於橢圓面積除以一周的時間乘二倍，即

$h=frac{2pi a^2sqrt{1-e^2} }{T}$

$mu =frac{h^2}{p}=frac{4pi^2 a^4 (1-e^2) }{T^2}cdotfrac{1}{aleft( 1-e^2 ight) }=frac{4pi^2a^3}{T^2}=n^2a^3$

唉，一不小心推導出了開普勒第三定律，慚愧慚愧

在極坐標中， $m{v}=dot{r}m{r}_0+rdot{ heta}m{ heta}_0$ ，所以 $v^2=dot{r}^2+r^2dot{ heta}^2$ ，帶入 $r^2dot heta=h$ 和活力公式，有

$dot{r}^2=muleft( frac{2}{r}-frac{1}{a} ight) -frac{h^2}{r^2}=frac{n^2a^2}{r^2}cdotleft[ a^2e^2-left( a-r ight)^2 ight]$

開個根號，做變數帶換 $r=aleft( 1-ecos E ight)$ 移項積分

$E-e sin E=nleft( t- au ight)$

這個叫開普勒公式，用這個公式就可以算出任意時間t時刻的r了。

小小回顧一下，我們得出了六個積分常數， $m{h}$ 中可以得到升交點角距 $Omega$ ，傾角 $i$ ，矢量 $m{e}$ 中得到偏心率 $e$ 和近星點角距 $omega$ ， $C$ 中得到了半長徑 $a$ ，開普勒公式中得到了近星點時刻 $au$

$ddot{m{r}}=-frac{mu m{r}}{r^3}$ ，二階的三維矢量的微分方程，六個常數，完善解決。

上面各位已經推導過了，我補充一個可能題主忽略的物理事實。

就是題主你想通過萬有引力定律推導開普勒第一定律是沒有多大意義的，可以鍛煉下數學技巧，

因為萬有引力定律是牛頓基於開普勒第二和第一定律結合牛頓第二運動定律，假定疊加原理（兩個太陽的作用是一個太陽的兩倍），推導得來。

開普勒第一、第二定律是開普勒通過觀察總結得到的，並沒有嚴格的數學證明。下面的內容是copy百度百科的：

他認為行星運動軌道的焦點應該在產生引力中心的太陽上，並進而斷定火星運動的線速度不是勻速的，近太陽時快些，遠太陽時慢些並得出結論：太陽至火星的直徑在一天內掃過的面積是相等的。開普勒把這結論推廣到其他行星上，結果也是與觀測數據相符。就這樣，他首先得到了行星運行的等面積定律。隨後他發現火星運行的軌道不是正圓，而是焦點位於太陽上的橢圓，他把這結論應用於其他行星也是適用的。於是他又得到了行星運行的橢圓軌道定律。

精確完證明