泛函分析中為什麼想到引進Gelfand變換?

按照wikipedia的說法，Gelfand變換的引入歷史上是為了給出Wiener theorem的更簡單的證明。Wiener定理是關於l^1(Z)在卷積乘法下的可逆元的描述。原本這是一個很硬的分析的問題，但在Gelfand transform的語言下面這變得非常簡單。只要知道了一些最基本的性質，再做一些關於l^1(Z)的簡單的計算，就能得到這個定理。然而Wiener最初的證明非常的複雜。

但是個人覺得，如果要看為什麼要這樣做transform，與其說是按照上面的說法，或者說是跟Fourier transform聯繫起來，我覺得不如說跟algebraic geometry聯繫更大。在交換代數觀點下，代數曲線對應到代數函數環的理想，不可約的曲線對應到素理想，而每一個點對應的則是極大理想。至少在Hilbert"s Nullstellensatz裡面這個對應就非常明確了，更加樸素的觀點我想出現的應該更早吧。（或者這直接還存在更複雜的互相借觀點的關係。。）而Gelfand transform也就是把Nullstenllensatz搬到了commutative Banach algebras的範疇裡面去。

至於劉宇航學長說的，非交換幾何的motivation，那就是在這個theory之後的事情了。Gelfand transform給出了一個具體的方法：如何從函數環C(X)出發把X恢復出來。那麼這或多或少意味著看一個拓撲空間或者說流形X和看C(X)是一樣的。後面還有更多的類似的故事，比如：

fgp mods -&> vector bundles (Serre-Swan)

multiplier algebra -&> Stone-Cech compactification

elliptic operators -&> K homology

positive scalar curvature -&> K homology中某些元素消失(Lichnerowicz theorem Novikov conjecture)

而非交換幾何大致上就是說把交換的函數環C(X)換成一般C*-algs(不必要交換)，比如說irrational rotation，然後去看這上面的一些東西。雖然處理的是algebras，但本質上還是在做幾何。