hahn banach延拓定理里的一小步？

01-15

本來想試著延拓一個維度，但是失敗了，比如在XM上找一點y，我要定義這一點的值使它滿足條件，於是我得到了要定義f(y),使得f(y)&<＝p(x+y)-f(x)對於任意x屬於M成立，想找右邊的下確界，但是我想了半天也看不出來右邊有下確界，書上的技巧雖然很好看懂但完全不知道他為什麼會這麼操作，請問我到這一步應該怎麼往下分析呢？或者書上這種技巧是怎麼分析出來的呢

謝邀：你得這樣分析，你想要在 $M+mathbb{R}x_1$ 裡面保持

$f(x$ ,那麼根據 $f$ 和 $p$ 的性質，你只需要保證當 $x$ 兩種情況成立就好，如果設 $eta=f(x_1)$ ,於是我們的目標是

$f(x)leq p(x+x_1) -f(x_1)=p(x+x_1)-eta quad forall xin M$

和

$f(y)leq p(y-x_1)+f(x_1)=p(y-x_1)+eta quad forall yin M$ .

然後你把上面兩個結果相加就是

一開始的 $f(x+y)leq p(x+y)leq p(x-x_1)+p(y+x_1)$ ,

而單獨看上面兩個式子不就是

$eta leq p(x+x_1)-f(x)$ ,

$etageq f(y)-p(y-x_1)$ 。

這樣說你明白了嗎？你主要是忽略了 $M$ 是一個子空間，而 $f$ 是線性這個結果。

所有數學證明都是「化妝後」的東西，作者不會在證明中試圖展現自己的思維過程，一般這種東西是寫在remark之類的地方。數學家所以這樣做主要是出於嚴格化和清晰化的理由。因為一點點的說明自己的思路非常啰嗦，而且很多人對於技巧早就爛熟於心，也談不上什麼「思維過程」。作為學生的話，我覺得你不一定需要知道作者最初「怎麼想」，因為搞不好他們也沒多想，你只要說服自己為什麼這個證明是自然的就好，給一個自己能理解的理由就好。