如何證明三角形物理重心既是幾何中線交點？

01-15

本來覺得這是個很好證得東西。結果遇到了麻煩。
大家都知道均勻三角板得重心就是中線交點，而中線交點也被稱為三角形得重心。
怎麼證明物理上的重心與幾何得中線交點是同一點呢

我想到得：物理得重心可用線懸掛得到，以三角形一個頂點為懸點，用線懸掛，懸線所在直線經過重心。需證明中線與其重合。
被懸線分割得兩部分力距平衡。只要證明被中線分割得兩部分力距平衡即可。
先從中線開始推，中線分割出得兩部分面積相等，從而質量相等，然後問題來了，如何證明力臂相等？要得到力臂，就是要得到重心到中線得距離。但我們不能說中線交點就是重心，這是我們要證得。。。這個很是讓我頭痛，可能這個思路走錯了。。求破。。

如果我們假設重心事存在的，和他的基本定義。有個簡單的方法求三角形均勻薄板重心。

我們假設三角形ABC 頂點坐標是v_i:= (x_i,y_i) i=1,2,3. 重心坐標記成p:=(x_p,y_p)我們把三角形的三條邊上中點連起來. 這樣劃分成四個全等的小三角形（所以重量相同）。所以原來的三角形重心是小三角形重心的平均值。有因為每個三角形和原來的相似，所以重心的相對位置和原來的相同。所以對每個小三角形我們可以計算他們的重心結果是 1/2v_i+1/2v_d, i=1,2,3 和 1/2(v_1+v_2+v_3)-1/2v_d. 綜上 v_d=1/4( 1/2v_1+1/2v_d +1/2v_2+1/2v_d +1/2v_3+1/2v_d +1/2v_1+1/2v_2+1/2v_3-1/2v_d). 整理一下就得到v_d=1/3(v_1+v_2+v_3) 得證

把三角形沿著底邊分割成很多很多的小梯形板，雖然最上面還是三角形，不過不重要。。

重要的是那些不高但是很細長的梯形，他們就像小木棍一樣，各自的中心幾乎就在中點。

恰好這些點都在原來三角形的中線上，於是我們就可以認定，所有這些分割出的小梯形們的總的中心就在這條中線上。

也就是說，三角形的重心在其中線上。

結合三角形的三條中線，我們就能認定，三角形的三條中線交於一點，這一點稱為「重心」（幾何重心），而且和三角形的（物理）重心重合。關於三角形的三條中線交於一點，可以從幾何學直接證明出來。但是基於物理學角度的考慮，即「實際物體存在重心且重心唯一」這個結論，作為理解三角形的三條中線交於一點這一事實的另一個方式也是不錯的。。

如果質量均勻分布，那麼重心必定落在中線上（中線平分三角形的面積，所以重心落在中線上，而重心與質心等價），所以質心就在中線交點了。

假設不在那裡，就是說至少不在一條平分線上，那麼在那個方向上，兩邊的重量就不平衡了，說明不是物理中心，推翻假設，證畢