關於一個聲學公式的推導，聲壓級和聲功率級之間的關係？

01-15

最近在自己看《建築物理》（黑色那本，建工出版社的第四版），上面有一道課後題是這樣說的。
試證明在自由場中，Lp=Lw-20lgr-11。式中，Lw為聲源的聲功率級，Lp為距聲源r米處的聲壓級。

關於這道題我的思路是這樣的：（「I。」是指「I零」……打不出來那個0）

Lp=Li=10lgI/I。=10lgI-10lgI。又因為I=W/4πr2
所以得到Lp=10lg（W/4πr2） -10lgI。
Lp=10lgw - 10lg4πr2 -10lgI。
這裡之後是直接把I。換成W。嗎，如果是這樣的話可以得到結論。我的疑問是雖然它們兩個數值相同都等於10^-12，但單位並不一樣啊？

另一個問題就是在同種介質時聲強級和聲壓級是相同的，那聲功率級呢？比如80dB的聲強級和80dB的聲壓級以及80dB的聲功率級都是一回事嗎？
第三個小問題是我在看室內聲場部分的時候，發現室內聲壓級的計算公式是：
Lp=Lw - 10lg（1/4πr2）
書上又直接推導成為了上面那個證明題里一樣的式子
即：Lp=Lw-20lgr-11

可是這裡明明是1/4πr2 啊，就算分解開來也是lg1-lg4πr2
lg1=0
那這個式子應該是等於Lp=Lw-（0-lg4πr2）=Lw+lg4πr2=Lw+11+20lgr
所以難道是我數學哪裡出了問題嗎？還是說書寫錯了（應該不會吧）。
快被搞混了。

謝邀了（看見公式就頭疼，不過老婆大人讓答題，就來答答吧）~

$Lp=L_{W} -20lg(r)-11$
證明過程：
$L_{P} =L_{I}$

$I=W/S$
$L_{I} =10lg(frac{W}{S} frac{1}{I_{0} } )=10lg(frac{W}{W_{0} } frac{W_{0} }{I_{0} }frac{1}{S} )=10lg(frac{W}{W_{0} } )+10lg(frac{W_{0} }{I_{0} })-10lg(S)$
$=L_{W} -10lg(4pi r^{2} )=L_{W}-20lg(r)-11$
原題主的問題在於把聲學當數學來學了，只注意了推導公式，而沒看到公式的意義。對於原題主的疑問，之所以在那裡直接替換出現差了一個單位，是因為沒注意到 $lg(r)$ 裡面也有個單位。
關於聲壓級和聲強級在數值上剛好相等的疑問：
$L_{I} =10lg(frac{I}{I_{0} } )=10lg(frac{p^{2} }{ ho c} )/I_{0}$
$=10lg(frac{p^{2} }{p_{0}^{2} } )+10lg(frac{p_{0}^{2} }{ ho cI_{0} } )$
$=L_{p} +10lg(frac{400}{ ho c} )$
而後一項剛好近似等於0，所以一般為了方便就認為聲壓級和聲強級相等罷了~
這三者到底是什麼關係呢？
聲功率級，相對於聲源而言的一個量，對於確定的聲源，聲功率級是固定的，指的是聲源輻射聲能量的能力。
聲強級，指的是單位面積上通過的聲能量，跟聲功率級差了一個面積的單位。
聲壓級，指某一點上的聲壓的大小。
書上符號寫錯了。

特意去看了一下，應該是書寫錯了。

這個公式很好理解，聲音在自由場中的傳播是能量守恆的，因此在距離聲源 $r$ 米處的地方，其聲功率應為其聲源輸出總功率的表面積的倒數倍（ $P/4pi r^{2}$ ）。但是問題出在它的正負號寫反了，不管是將原公式改為 $L_{p}= L_{w}+10lg(1/4pi r^{2})$ 還是改為 $L_{p}= L_{w}-10lg(4pi r^{2})$ 都沒問題。後面的公式 $L_{p}= L_{w}-20lg(r)-11$ 倒是沒問題，應該是作者打眼一看也知道聲音是不可能越傳越響的。