關於閉運算元的一個問題？

X自反，A稠定閉運算元

則A*稠定？怎麼證？

謝邀，不需要閉運算元，只要可閉化就行了。事實上，如果 自反，一個稠定運算元 可閉當且僅當其對偶運算元 是稠定的。

首先，我們需要一點準備內容。我首先得習慣把一個線性運算元 和它的圖想對應，並且把它理解成一個特殊 的線性子空間. 也就是說， .你也可以認為是把運算元 的圖 和 一一對應了。這樣的化，一個運算元是閉運算元，當且僅當 作為子空間是閉的。

基於這個理解，我們給出對偶運算元 的一個等價定義，設 為 ，

對於任意空間 ，我們定義 不難發現， 一定是一個閉子空間。按照上面的設定，對偶運算元的（等價）定義如下：

,

這個保證了任何 如果存在，它一定是閉運算元。

另一方面，對於任意 ,我們可以定義 。

對於任意子空間 我們有

.

對於閉運算元，它等價於 ,也就是說作為一個 的子空間，它閉包後等於自己。

任意線性運算元都有一個圖，這個圖可以看成是一個線性子空間 ，這是OK的。那麼一個線性自空間的閉包後雖然還是自空間，但是不能保證它還對應一個運算元。 可閉包化的意思是 依然是一個運算元（的圖）。或者等價於，如果 ，而且 , ,那麼必然有 。

好了，準備內容完畢，我們開始證明。

如果 是可閉化的，但是 不是稠密的，那麼根據Hahn-Banach定理和自反性，我們可以找到 使得 於是 ,我們有

換句說說 ，這是不可能的，因為 是一個運算元，因為 .

如果 是稠定的，而 ,則我們可以發現

.

根據 的稠密性，不難發現 。