为什么快速小波变换没有像快速傅里叶变换一样得到广泛应用？

01-15

小波变换具有比傅里叶变化更好的性质，而且快速小波也能像 FFT 一样加速。最近关注目标跟踪领域，相关滤波都是用了 FFT 加速，而没有使用小波的。

你的理解有误,小波分析并没有"具有比傅里叶变化更好的性质", 二者都骑在测不准原理的坎儿上,并没有谁比谁更好的情况,只存在具体问题中谁比谁更合适的情况.

让我几句话讲明白小波这个事:

我们无法同时测准一个信号的频率和时域,要么频域不准,要么时域不准,这两者存在一个理论极限,是可以由数学证明的客观存在,即测不准原理.(公式详见小波十讲).

连续无限长度的傅里叶分析以完全抛弃了所有的时域信息为代价,获得了完全精确的频域信息,怎么讲? 你算个频谱,看每个频点有几个振幅值? 一个吧? 你能告诉我1000Hz在第一秒多大,第二秒多大吗? 不行吧? 因为它只有一个值.

为了解决这个问题,我们引入了滑动窗口傅里叶,滑动窗口加窗傅里叶使得每个频段既能带有时域信息又能带有频域信息,这样同一个频点在不同的时间段可以获得多个振幅值,我们就拥有了这个频点的一些时域信息,但加窗傅里叶依然受测不准原理影响,窗口尺寸越大频率测得越准时域测得越不准,反之亦然.

那小波呢? 小波变换说白了还是滑动窗口傅里叶,只不过窗口尺寸在高频取短点儿,低频窗口取长点, 使得高频在时域更准,低频在频域更准.就是这么简单!

同理的我们完全可以设计一个变换使得高频频率更准,低频时域更准,或者高频频域更准中频时域更准低频频域更准........ 但这些都是受测不准原理影响的,只可能更差,并不会比傅里叶更好.

所以你要知道,小波变换从某种意义上来说只是时频变换的一个trick,同样受到测不准原理的影响,它并没有真正获得比傅里叶更精确的信息.

因此在实际使用时,把傅里叶换成小波并不一定会得到更好的结果,这是其一.

其二, 实际使用时,虽然我们经常碰见貌似应该用小波分析的情况,但能把小波那一套原封不动套到解决方案上的情况却不多.

其三,高频窗小低频窗大这种事,只要我们不需要正交性,不做逆变换,完全可以用各种更经济,基于傅里叶或滤波器的方法实现.

其四,离散小波变换,多分辨率分析,听着高大上,实际上完全等同于完全重构FIR滤波器组,算了半天草帽小波鸡,最后得到的就是个sinc函数加窗的FIR滤波器组.想明白这个事儿以后我气得三天没吃下饭.

其五,很多时候,例如相关滤波时,用傅里叶只是为了让卷积算得更快.

综上,确实有一些需求用小波更好,但也只是一些,不是全部.

我就说一下我了解的几个领域。

图像视频压缩。wavelet并没有比DCT有全面的优势。jpg/h26x一直是主导。

音频压缩。同样，wavelet压缩率和速度上都没有比之前的算法有所突破，噪声还不小。

图形学里的Precomputed Radiance Transfer (PRT)。在刚提出来的时候，用的是SH，也就是傅里叶的球面版本。自然，很快就会有人提出wavelet的版本，用来解决高频光的问题。但wavelet本身有两个不如SH的地方，1) 没有旋转不变性; 2) 并非表示在球面。也使得应用范围非常受限。旋转一下就得重新做wavelet分解，然后从平面投影到球面。没过几年就没人提这事了。

不过最近，我看到一个叫做Needlet的方法，是三代小波的一种，原先在研究微波背景辐射的时候发明的。它有旋转不变性，并且是球面的。可能可以解决那些问题，成为新一代的PRT基函数。

前面的回答阐述了小波和FFT变换的一些区别，但是题主问的是基于相关滤波的视频跟踪中，为什么用FFT加速，而不用小波？这个没人回答，我来补充一下吧。

原因很简单啦，因为相关滤波这个操作可以且仅可以用FFT加速，小波变换在这里没法用嘛。不用小波不是因为它的性质不好什么的，而是因为相关滤波这个计算过程没法等价于小波域的操作。

再进一步的详细解释如下

目标跟踪中的相关滤波操作，考虑的是图像 $u$ 和滤波器 $k$ 的相关操作，即

$k star u$

对于相关操作，恰好FFT变换有一个性质，就是空域的相关操作可以转换到FFT域的点乘操作，这个转换可以将相关操作的复杂度从 $O(N cdot N)$ 降为 $O(N ext{log}N)$ ，因此这个计算过程得到了加速。

因为小波变换不具有这样的性质，所以处理图像和滤波器的相关计算时，就用不上了。

你要明白一个前提傅里叶变换不适合处理非平稳信号因此小波变换才出现弥补这一缺陷它是傅里叶变换的补充

另外其实在信号系统领域小波变换应用很广的 JPEG2000就是基于小波变换的

小波变换也不是毫无缺点的小波变换进行降噪等重构处理时会丢时域特征同时算法麻烦在工业领域大家都是选简单粗暴能满足要求的工具因此FT大部分时是更好的选择

因为FIR滤波和小波本来就没什么关系啊。FIR能够利用FFT滤波，这是和时、频域之间的数学性质有关的。小波应当并不恰好具有这种性质。

同时，即便只是从直观上来看，FIR滤波并不需要小波的“时间分辨率可变”这种优点，因为FIR滤波的效果是完全包含在卷积核的数据里的。这里使用FFT进行计算，其实只是一种加速手段，要求结果数据和直接在原域上“硬”算卷积完全相等。

傅立叶变换比小波变化应用的更广，这是事实。俺觉得可以从两个方面解释这个现象。

1，傅立叶变换比小波在数学上更基本。在信号处理理论中，傅立叶变换和小波变换都是定义在定义域为实数或整数的函数上的。但其实傅立叶变换可以定义在所有定义域为 locally compact abelian group 上的函数上的。这些group （群）包括实数域和整数集合这样的特例。所以傅立叶变换的定义需要的数学条件比小波变换要弱很多。在这个意义上，傅立叶变换更基本，更朴素。大概也是因为这个原因，人类对傅立叶变换已经有几百年的深刻认识（一个有趣的事是当年傅立叶提出傅立叶变换的时候，文章竟然被拒了；拒他的那个人名字叫拉普拉斯）。早在上世纪五六十年代，傅立叶变换就被引入电子工程的各个领域，得到广泛应用。而小波变换的兴起大约是上世纪八十年代的事。

2，傅立叶变换之所以得到广泛应用主要得益于FFT （快速傅立叶变换）算法的发现。即使今天看来，FFT 仍然是计算算法中的一颗璀璨明珠。它的优美便捷使它实现起来方便容易，只要求很低的计算资源。所以直到今天FFT依然被工业界偏爱。

当然，虽然傅立叶变换目前的应用比小波更广，但由于它本身的局限性以及我们对算法有越来越高的要求，小波变换应该也会有越来越广的应用，特别是在计算资源越发丰富廉价的今天和未来。

谢邀。楼上 @陈运锦回答就很具体了。在KCF中之所以用到FFT加速，就是用到卷积定理
卷积定理_百度百科

我也有一次遇到需要在傅立叶和小波变换之间选择一个来用的情况。所以做了一些了解。我个人的理解是，小波变换是介于frequency domain和time domain之间的一种变换。它的优势就是不会像傅立叶变换一样在理论上返回所有frequency. 相反，因为小波变换具有这种形状，能够在convolution的时候相应地放大跟它形状类似的信号。

傅立叶变换运用广应该是在很多解析分析里是常见的转化到frequency domain的方法，是比较通用的形式，也是Laplace transform比较受欢迎的一种变体。

傅立叶公式我是用一遍查一遍，再忘一遍，小波到现在我都没真用过，真是难，想用都头大。当时看小波最深的印象感觉就是低频无限二分的一系列滤波器，小波系数更像是各个频段信号缩影的串联。

小波并不比傅立叶好，傅立叶可以看作是窗口无限宽的小波，这样的结果是获得完全的频率信息，而丢失时间信息，小波只是追求频域和追求食欲的一个折中而已

谢邀，FFT是变幻到频域，WT是变幻到时频域，

傅立叶变换比小波变换具有更强的物理意义？

fft彻底弄清楚的人都少。

小波在信号处理领域又干掉一大把人。

然后又是快速小波变换。

群众基础就更小了。