如何回應意外考試悖論？

01-15

老師在周五下午說，我將在下周一到周五之間隨機挑一天進行一次突擊考試。我將在那天的早上通知考試，直到我通知了你們，你們才知道那天會考試。
小明指出，那根本考不了試。
老師讓小明先出去站了一節課，然後出來問他為什麼。
小明說，首先下周五不能考試，因為如果到周四早上還沒有宣布要考試的話，那就相當於大家在周四就知道周五會考試了，與老師說的內容不符。同理周四也不能考試，因為如果周三還沒宣布考試而周五又不能考試(已證)，那隻能在周四考試，與老師所說內容不符。
同理可以推出下周每一天都不能考試。

在書上看到的，感覺怪怪的。應該是錯的，又說不出哪裡有錯。來問問萬能的知友。

最近剛好在看這個，順手答一下，當做整理思路吧...

由於從周四到周一這四天的論證都是類似的，因此我們可以直接將該論證簡化到兩天的情況，即老師宣布周一或周二將會考試，但是學生在考試當天的早上並不知道當天會考試。這樣簡化並不會影響該悖論的實質，以下討論的都是兩天（周一和周二）的簡化情況。

解決任何悖論的第一步都是一樣的——先用清晰的語言重構學生的論證：

1. 假設老師的話為真，即，假設（周一或周二有一場考試）並且（學生在考試當天早上不知道有考試）

2. 假設不是在周一考試

3. 如果不在周一考試，那麼周二早上學生就知道周一沒有考試

4. 周二早上學生知道周一沒考試

5. 根據假設1，如果周一沒考試，那麼周二就有考試

6. 根據4和5，周二早上學生知道周二考試（？）

7. 6和假設1矛盾

8. 因此，假設2是錯的，在周一考試

9. 因此，周一早上學生知道周一會考試

10. 9和假設1矛盾

11. 因此，假設1是錯的，老師的話為假

這樣，學生就證明了老師的話為假，老師要麼不考試，要麼在學生知道的情況下考試。

但這還沒完，這個悖論真正有趣的地方在於，即使學生無懈可擊的推出了老師的話是假的，老師也可以輕而易舉地證明他的話是真的——如果到了下周一的時候老師突然舉行考試，這時學生依然會感到意外，因為他們在周一早上依然不知道周一會考試，這對學生來說依然是一個意外。學生會想「我明明已經邏輯推理出來了啊，老師怎麼還能這樣考試啊，太意外了！」

我認為，這才是這個悖論最核心的部分。不論學生推理了還是沒推理，老師都可以做到他的宣告。

這樣看來，學生的推理必然是有問題的。那麼問題出在哪裡？我在6後面打了問號，意思是存疑的。

從5推出6其實使用了一個隱含的條件——學生知道老師的宣告為真。為什麼呢？因為我們只承認這樣的推理規則：（K代表知道）

$Kpwedge K(p ightarrow q)vdash Kq$

但從4和5到6是這樣的推理：

$Kpwedge (p ightarrow q)vdash Kq$

5隻是說「如果周一不考試，那麼周二就考試」，沒保證「學生知道（如果周一...那麼周二...）」。因此4和5推到6是不成立的。要推出6必須把5改成「學生知道（如果周一...那麼周二...）」，這就要求學生要知道老師的宣告。

這就是Quine的看法。他認為，1不應當假設「老師的宣告為真」，而應當假設「學生知道老師的宣告為真」，只有這樣，才能推出6。因此，Quine認為，學生的論證實際上沒有證明老師的宣告是錯的，而正好證明了他們不可能知道老師的宣告是真的。

基於這一點，Williamson得出一個更強的結論：存在一些不可知的真理。對此，我的理解是，老師實際上完全可以做到他的宣告，他的宣告實際上是真的，然而如果假設學生知道宣告是真的，那麼就會導出矛盾，因此學生無法知道宣告是真的。這也就是說，對學生來說，這個宣告就是一個不可知的真理。

Kripke認為9也有問題，學生現在推出了周一早上會考試，不一定說明周一早上他還能知道周一會考試，也就是質疑現在的知識不一定可以持續到以後。不過， @羅心澄的答案中提出的貼紙問題已經很好地反駁了Kripke的這一觀點，這個貼紙問題實際上是索倫森（Sorensen）為了表明，時間因素在這個悖論中不起作用，而提出的悖論。

以上是我目前看到的一些對這個悖論的回應，個人覺得Quine的回應是比較好的。下面說一下我自己初步的想法：

在我看來，這個悖論是有一定的自指因素的。老師說「下周會有一場意外考試」，實際上包含了這層意思：「下周會有一場意外考試，而且，就算我告訴你們下周會有意外考試，這考試還是會讓你們感到意外，無論你們怎麼根據我的宣告進行推理，你們還是會感到意外」。

然後，其實不僅可以簡化成兩天的情況，更可以簡化成一天的情況：老師說：「明天會考試，但是你們事先不知道明天會考試」。那學生也可以這樣進行推理：假設老師的話是真的，那麼明天就會考試，那我現在就已經推知了明天會考試，那我就事先知道了明天會考試，這跟老師的話矛盾了，因此老師的話是錯的。因此，學生得出的結論是：要麼明天不考試，要麼明天考試但我事先知道。

然而，此時學生還是不知道明天究竟考不考試。到了明天，如果老師安排了考試，他還是沒有違反他的宣告，因為學生事先還是不知道究竟考不考試。因此老師的宣告並不錯誤。

但學生確實推理出了老師的宣告有錯，那學生的推理錯在哪？我認為是錯在「假設老師的宣告為真」這裡。

在 @羅心澄的答案中提出：

「外面正在下雨，並且你不知道外面正在下雨」呢？——當它被鎖在說話者心中的時候它是沒問題的，但是如果它被陳述給聽話者了，那麼這就是一個矛盾。這個矛盾不在命題之中，而在於其宣告。

我認為，這跟我們討論的「明天會考試，但是你們事先不知道明天會考試」不一樣。

我自己的觀點是，「外面正在下雨」這句話有確定的真值，然而「明天會考試」這句話現在並沒有確定的真值。像這類描述外界情況的命題的真，通常都被認為是符合論意義上的真，也就是「外面正在下雨」為真，當且僅當現在外面確實在下雨。也就是說，這種描述現實世界的命題為真，當且僅當它描述的東西符合現實世界的情況。但是「明天會考試」是符合還是不符合現實情況呢？這隻有到了明天才清楚，現在說這話是真還是假，都是沒有意義的。如果現在就已經確定了「明天會考試」為真，那豈不是說明老師沒有了自由意志，老師無法自由選擇考不考試，他考不考試在現在就已經被決定了？

因此，老師的宣告現在是沒有真假的，要知道真假必須明天才能知道。學生現在不能通過歸謬法證明老師的話為假。這個悖論自然解決。

再舉一個類似的悖論：

明天要考試了，我今天該不該複習呢？
如果明天考試能過，那麼反正都能過何必複習呢，不如去玩。
如果明天考試不能過，那麼複習又有什麼用，還不如去玩。
明天考試要麼能過要麼不能過。
因此，不如去玩。

這一看就很荒謬的，然而這裡的二難論證形式是沒有問題的，是一個有效的論證形式。這裡之所以會得出荒謬的結論，我認為可以解釋為「明天考試過不過」現在並沒有真假可言。既然沒有真假，那麼這種二難論證就不能再用了。

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總結一下，Quine認為學生的論證並不推出老師說的話為假，只能推出學生不知道老師的話為真。Williamson認為，這恰好說明有些真理是不可知的。Kripke認為，現在推知周一不考試不意味著周一依然知道這一結論，知識的持續性是存疑的。（已經被索倫森的貼紙悖論所反駁）

我同意羅心澄答案認為的——這個悖論跟時間因素沒有關係。但我覺得老師的話是真是假，有沒有問題，現在不可能知道。因為考不考試是未來取決於老師自由意志的事情。老師可以隨意安排考不考試。不過只是我個人粗略的一個想法，如有反駁在評論區直說就好。

意外考試悖論的重點或許並不在於時間上。

將其轉化為同時的模式：

若干個學生站成一列，站在後面的人能看見前面所有人的背後有沒有貼紙，他們之間不能交流。（雖然不能交流，但是顯然站在後面的學生繼承了站在前面的學生的所有信息，因為凡是前面的學生看得到的內容，後面的學生也看得到）

老師宣稱一個學生背上貼紙了而這個學生自己不知道（因此是「意外貼紙」），但是站在第一個位置的學生宣稱這不可能，因為：

最後一個人能看到前面所有人，因此如果前面所有人都沒貼紙，那麼紙肯定貼在他身上，因此最後一個人背後不能有貼紙。
因為最後一個人不可能，因此倒數第二個就變成了最後一個，相同的推理。
……
因此貼紙必須貼在第一個人背後，但是這樣我就知道了，因此這不是意外的了。

很多人認為錯誤只能出現在推理和推理者身上，但是首先，錯誤是可以從承諾者開始的。

如果只有一個人，老師告訴他：你背後有一張紙，並且你不知道。——這個宣告行為本身是自敗的。

同理，如果老師說：明天有一場意外考試。（意外按照你不知道它在哪一天發生來定義，而不是說它的形式或者具體的時間）這個宣告行為也是自敗的。

這個命題本身並不是錯的，它的錯在於它的宣告作用。即，如果老師是把這句話告訴其它任何人（貼紙的例子中，除了被貼紙的那個人；考試的例子中，除了要考試的學生之外的人），這個宣告行為都是沒問題的，他也可以將這個寫在日記中，寫在私人博客上……這些都可以。但是一旦宣告的對象變成了事情的遭受方，那就不行了。

我們都知道摩爾句「外面正在下雨，並且我不知道外面正在下雨」是自相矛盾的。那麼摩爾句的改版「外面正在下雨，並且你不知道外面正在下雨」呢？——當它被鎖在說話者心中的時候它是沒問題的，但是如果它被陳述給聽話者了，那麼這就是一個矛盾。這個矛盾不在命題之中，而在於其宣告。「我什麼都沒想。」

而這個起點在我們的例子中就被放在了推理的第一步中：

「最後一個人能看到前面所有人，因此如果前面所有人都沒貼紙，那麼紙肯定貼在他身上，因此最後一個人背後不能有貼紙」以及
「首先下周五不能考試，因為如果到周四早上還沒有宣布要考試的話，那就相當於大家在周四就知道周五會考試了」

這個地方的問題在於，老師的確可以把考試安排在周五，或者把紙條貼在最後一個人身上，但是意外這個性質就不可能存在了。因此，在此時說這個考試不是一個意外是正確的。

我們似乎解決了只有一個人的情況和基礎步，但是如果有兩個選項怎麼辦？在只有一個選項的情況下，責任完全歸於宣告者。而在有兩個選項的情況下，責任是否依然能夠完全歸於宣告者？如果能的話，那麼這意味著什麼？

在推進考察之前，還是先回到只有一個人的情況下。這次換另一條推理路線，

之前那條推理路線的另一種陳述方式是這樣的：既然你說至少一個人背上有貼紙，那麼我背上有貼紙。至於你說我不知道我背上有貼紙，這顯然是你的錯誤——我當然知道我背上有貼紙。這似乎假定了我背上一定有貼紙，因此我也無從不知道。
然而另一種情況也是可能的：我背上根本沒有貼紙，因此我也不可能知道我背上有貼紙，「至少有一個人背上有貼紙」錯了。接受這個激進的可能性是因為，既然你（宣告者）可以在「不知道」這一點上出錯，那你為什麼就不能在「有貼紙」這一點上出錯呢？

於是完整考慮之後，這就變成了這樣一個情況：既然我已經知道你是一個不守信用的混蛋，或者，一個腦子有問題的傻逼了，那麼我有什麼理由還相信你說的話是真的呢？你是傻逼，我信你的話，豈不是我也是傻逼？這種情況下，責任當然在你，因為你是傻逼，但是某些責任也在我，因為我不應該相信一個傻逼。

然後我們可以將這個推廣到兩個人的情況下。S 是宣告者，A 站在 B 後面。

S：A 知道 B 背後有沒有貼紙，A 和 B 背後有且只有一張貼紙。A 不知道自己背後有貼紙（如果有，那麼 A 不知道；或者沒有），B 也不知道自己背後有貼紙（同前）。
B 開始設想：如果 A 看到我背後沒有貼紙，那麼他就知道自己背後有貼紙。……

這是值得懷疑的。當然，如果我們假設 A 是理性的，並且 S 相信 A 是理性的，S 不是騙子，那麼我們可以接著推，推下去的結論是為了要讓 A 不知道貼紙貼在自己身後，S 只能把紙貼在 B 的背後，因此 B 就知道自己背後有貼紙了。因此 S 說 B 不知道就是因為 S 自己是騙子，或者 S 相信 B 是傻逼。

可是，如果 A 看到 B 背後沒有貼紙，有可能 S 是一個騙子，此時雖然 B 背後沒有貼紙，但是 A 背後也有可能沒有貼紙。既然 S 有可能是騙子，那麼 A 的推理就是不可靠的，因此 B 就不能站在 A 的立場上推下去了。這就使得我們陷入了這樣一個循環：

如果 S 不是騙子，那麼，要麼 S 是騙子，要麼 S 相信 B 是傻逼，在騙子的情況下 B 不能知道。
如果 S 是騙子，那麼騙子的話是不值得相信的，因此 B 不能知道。

也就是說，就算 S 真的在 B 的背上貼紙了，並且 B 相信這一點，他也不能知道這一點。因為相信他是可信的會推出矛盾，因此這個信源本身是不可信的。同理，我們可以推出 S 的宣告在這個情況下也是不恰當的，因為如果別人真的相信他，那麼別人會得到一個矛盾的信念。只有在別人不相信他的時候，他才真的能說這個人不知道。相當於是說，只有當別人不相信我的宣告的時候，我的宣告才是真的——這在某種意義上來說是很不好的。

但是，如果 S 真的不是騙子，單純就是相信 B 是傻逼，這個時候又要怎麼辦呢？退回一個人的情況：你認為聽話者聽不懂英語，然後用英語說了這麼一句。這算什麼呢？顯然你沒有想要向其宣告的意味，這更像是秘密泄漏。就像是有人把日記鎖在保險柜里，上面寫了一句「沒有人會看到這個日記」，這算什麼呢？祈願么？由於太令人傷感了所以就不想細想了，隨意吧。

這裡還有一個可能性當然是假設 A 是不理性的，但是這個假設方向沒有什麼意思。一方面是因為不用這個條件也能得到我們要的分析，另一個因為在有時間介入的情況下，A 和 B 對應的不同時間的同一個人，我們當然不願意相信明天的自己是不理性的。

以上。

關鍵在於：

1. 一個人不能聲明一個命題且不知道這個命題;
2. 宣言是共有知識(Common knowledge).

在認識邏輯(epistemic modal logic)中引入了模態運算元：