如何通俗易懂的解答雙信封悖論？

01-15

現有信封A和B，它們裡面都裝著錢，已知其中一個的金額是另一個的兩倍(但是不知道具體金額是多少，有可能是1元或者是1億或者更多)。現在讓你任挑其中一個信封，你將得到裡面的錢。
也就是說，假如你選擇了信封A，打開之後得到100元，那麼另外一個信封B裡面的錢可能是50元，也可能是200元。
在你打開信封之前或者打開信封之後，你都可以改變主意要求換成另外一個信封。
那麼，你會交換信封嗎？
或者說，你的最佳策略是什麼？

我是這樣想的，假如在我面前的兩個信封(確定是一個多，一個少)，我隨機挑選一個(比如說投硬幣)，然後我選擇信封A，我打開之後得到了n元，那麼(無論n=多少)我都會考慮換信封，因為信封B的錢要麼是0.5n，要麼是2n，交換信封之後我有50%的機會輸掉一半或者贏1倍，這個賭博遊戲似乎很划得來？
既然我打開信封A之後都一定會選擇交換，那我也沒有必要打開了，我直接換成信封B怎麼樣？
那為什麼我不一開始就直接選擇信封B呢？
選擇了信封B之後，我又會覺得把信封B換成A更有利？
這就產生了「永遠都是換另外一個信封的更加有利」這個怪邏輯，當然我們都知道這肯定是矛盾的。
請問，這個邏輯的錯誤在哪裡？

以前答過一遍，再寫一次吧。

注意概率密度只要f(x)=f(2x)就行，不用是均勻分布。

第一步就是錯的。信封放的錢是個隨機變數(我們假設這個變數是連續型隨機變數)，我們要考慮其概率密度。比如你打開第一個信封看到了100塊，你還假設另一個信封有50%概率有50塊，50%概率有200塊。那麼你就假設了，（50，100）的組合和（100，200）的組合有相同的概率（概率密度）。所以錢少的那個信封包含錢數（以下記作M）的概率密度f(x)滿足f(x)=f(2x).假設1&0的概率為0. 所以說，唯一的可能就是兩個信封都沒錢。

離散變數也是一樣的道理，如果錢少的信封以正概率P為某個值x，那麼也要以相同的概率P取2x,4x,8x,16x...於是總概率大於一，矛盾。

奇異型隨機變數不太好描述這個問題。

要不然，就是前面加粗的假設錯了，打開一個信封看到100塊，不能說明另一個信封各有50%的概率有50塊和200塊。

其實好多所謂概率悖論都是樣本空間和概率分布沒想清楚。

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概率有可列可加性，可列個不交集合A_i的並的概率等於概率的和的極限。 $mathbb{P}(cup_{i=1}^infty A_i)=sum_{i=1}^infty mathbb{P}(A_i)$ . 所以可數無窮集（比如自然數集）和無窮區間（比如正實數集）上都沒有均勻分布。

假設自然數集上有均勻分布，設每個自然數的概率都是P。如果P大於零，那麼取[1/P]+1個自然數，它們的概率之和大於1，矛盾。於是P=0。此時，所有自然數的概率是每個的概率的和，還是0，矛盾。

正實數集同理，設(0,1]的概率是P，如果P&>0，總概率大於1；如果P=0，總概率為0，都是矛盾。

突然想到個奇怪的解釋，就是在測度為無窮的集合上，無法定義均勻分布……

當我們說：如果一個信封中有x元，另一個信封中有50%的概率是2x，有50%的概率是x/2時，我們假定的是，所有的信封組合 $[0,+infty) imes [0,+infty)$ （這是一個Lebesgue測度無窮的集合）或者 $mathbb{Z}^+ imes mathbb{Z}^+$ （這是一個計數測度無窮的集合）是等概率（密度）出現的，然而這是不可能的……

也就是說，我們要麼放棄等概率，要麼規定有上界（ @靈劍的做法其實是規定上界了）……這樣一來似乎可以解決這個問題。

不過我也不太確定這個解釋是否正確，歡迎指教。

因為信封中出現的金額跟哪封多哪封少是相關的，當你看了信封中的金額之後，對另一個信封的判斷就應該是個後驗概率了，而不是50%對50%。比如為了讓奇偶性不干擾，多的信封是10到1000的均勻分布，少的是5到500，多的信封是奇數的時候少的信封向下取整。當你看到信封中錢數超過500的時候肯定不會交換的；而看到錢數少於500的時候會交換。如果你不看就交換，總的期望值是不變的。

@Richard Xu說的是對的，我來說得更清楚一點：

問題在於，如果你是做信封的那個人，你是怎麼選的錢數n？

從0到正無窮的實數中等概率地隨機選一個嗎？——這件事是做不到的。你沒法想出一個選法，在一條射線上選出一個點，並保證這條射線上每個點被選中的概率相同。

因此打開信封之後，另一個信封里的錢是 2n 或者是 0.5n，這兩件事的概率很可能不相等。

至於它們的概率是多少，在不知道信封是如何封裝的情況下，你是無法得知的，因此無法根據概率做出決策。

如果知道了信封是如何裝的，比如從0到1000的整數中隨便選一個，那麼就有了一個具體的選擇策略——你看到錢比1000多，就一定不換，如果錢是奇數，那就一定換等等。

這個問題很久以前在果殼上討論過：過年紅包悖論

我只摘錄一下我的結論吧：

換包賺錢的概率與手中包里錢數有關，有時大於50%，有時小於50%。
換包賺的錢數的期望也與手中包里錢數有關，有時為正，有時為負。
上面兩個量具體是怎麼與手中包里錢數相關的，取決於放錢者，我們無法預知。
即，在一種具體情況下，我們無法知道換好還是不換好。
如果把兩個量對手中包里的錢數求期望，那麼前者為50%，後者為0。
即，在平均情況下，換和不換一樣好。

不談分布都是耍流氓啊

舉個例子，假如有一種紅包，其中可能有50，100，或者200。

其中，50和100經常出現，200極少出現。

現在，你面前有2個這樣的紅包，並且知道其中一個是另一個的2倍。

你隨手拆開了一個，發現是100。

你換不換？

n補充一下@Richard Xu的回答，我覺得打開前和打開後是兩個問題。但是要把它們看成兩個問題，不可避免地要引入效用函數。

打開前的問題是選哪個得錢多，答案是不管選哪個都有50%可能性選中錢多的那個。這時效用函數看作定義在[0,1]上，由於你沒有關於錢數分布的信息，你能做的是把錢多標記為1，錢少標記為零。

打開後的問題變成了要不要買一個預期收益為正的彩票。答案是買與不買取決於你的風險厭惡程度和初始財富等等。這時效用函數看作定義在實數軸上，而你即可以利用新信息來計算另一個信封錢數的分布，也可以繼續用賺和虧來看待問題，而不管賺和虧的數值。

特別地，只看賺虧不看數值，且風險中性，會退化到沒開信封的狀態，解也一樣。樓主提的作法是假定風險中性且開封后計算分布，沒法從沒拆那會的問題得到。

對了，從另外一個角度看，可以認為拆信封前後距離的定義變了。

靈劍說的很對了，後驗分布變了。

題主分析的假設是後驗的條件概率全為0.5，這是不對的。會導致:

EX=E(E(X|Y))=E(1.5Y)=1.5E(Y)

EY=E(E(Y|X))=E(1.5X)=1.5E(X)

EX=EY=0。

錢數不可能為負，所以X=Y=0。信封里根本就沒有錢，你看哪個信封好看就拿那個吧┑(￣Д ￣)┍

不請自來。

因為信封中的錢數是事先決定好的，並不隨著你的選擇改變而改變。事先約定好交換規則後，期望的不同是因為你所選擇的信封的不同，而不是由於你所做出的交換這一行為。

嘗試給一個不用數學的通俗答案吧。

假設你有一個土豪朋友，有一天他開心，非要送你錢。你們約定從10000以內隨機選個數，選到多少他就給你多少。

那麼平均而言，你可以得到5000元

可是這樣顯得我也太小氣了，土豪想。所以他重新給你商量，只要讓他包養你，從1個億里選到多少算多少！

這下你可激動了，0 - 1億，平均一下5000萬，四捨五入就是一個億啊！

土豪看你激動的樣子擺了擺手，其實他家是印鈔票的，想印多少印多少(不考慮印鈔成本)，就算是4萬億也不在話下。你從0到無窮上隨機挑一個，他都包了。

這下問題就來了，因為上限直接變成了無窮多，所以你的平均收益也是無窮大。

回到信封問題，因為題目沒有規定信封里的錢的限額，那麼意味著你打開信封時，從0到無窮任何一個數都有可能出現，也就是你的預期收益是無窮大。現在你要求換信封，換來的錢仍然是無窮大。這樣的比較是沒有意義的。

這個現象的出現關鍵在無窮範圍和完全平均的矛盾，兩個假設不可能同時成立。這一點別的答主說的很清楚了。

很簡單。假設發紅包者放在A和B中的分別是100元和200元，當你隨機選定一個信封的時候，另一個信封里的錢數已經確定了，只是你不知道。這個所謂悖論的產生，是由於錯誤地認為另一個信封里的錢數還是隨機的。如果你打開了看到100元，另一個信封里已經確定是200元了，並無任何隨機性，只是你不知道；如果你接著打開另一個紅包，不可能看到只有50元。一開始的時候你有1/2的幾率選中100元或者200元的紅包，所以換和不換的預期收益沒有區別。

所有的隨機性都只存在於你一開始選定的那個信封：你選的那個信封，有可能是2n那個或者是n那個。如果你重複這個實驗很多次，因為一開始你可能選中大信封或者小信封，你會看到五五開的比例換得「兩倍」或者「一半」，但這兩種結果的隨機性全部來自於「你一開始選哪個信封」的隨機性。一旦你選定了信封，另一個裡面有多少錢就決定了，沒有隨機性。

這道題跟那道三個箱子只有一個裝著大獎，然後主持人幫你打開一個空箱子問你要不要換，方法是相同的。只不過這裡沒有人幫你開空箱子，所以換和不換收益一樣。

你拿到100時如果換了是200 那他一開始給你準備的是300塊你賺的100是總金額的三分之一

如果換了是50 那他一開始給你準備了150 你虧的也是總金額的三分之一

我畫了一下聯合分布的俯視圖，由假設兩個信封是對稱的，所以聯合分布應該是只在y=2x與x=2y上取值不為0，且值關於y=x對稱。

那麼現在當你知道了你的信封里有500元時，顯然是屬於這A，B，C，D這四種情況，其中換了後變小和變大的概率分別是P(A)/(P(A)+P(C))和P(C)/(P(A)+P(C))。如果概率各是50%，你要假設對任意A和C有P(A)=P(C)，那就是在無窮測度下定義均勻分布了，R.X.先生已經解釋了這種情況了。

如果不是這種情況的話，你抽中的信封里有x元，那麼交換的期望是(P(x,2x)*2x+P(x,x/2)*2/x)/(P(x,2x)+P(x,x/2))比較一下就知道該不該換了。

先試圖「通俗易懂」的解釋一下。正實數範圍內的x，那麼以下的八個故事是否等價？

故事一

放錢的人隨手寫了兩張支票，但面額滿足關係x和2x。然後閉著眼睛把兩張支票隨機放到兩個信封里。你隨便拿一個信封。

故事二

放錢的人隨手寫了一個數x，天上掉下兩張面額是x和2x的支票。你閉著眼睛隨便拿一張支票。

故事三

你隨便拿了一張空白支票，上帝隨意把「每個正實數」都寫在一張空白支票上，當然也包含你拿這這張，有了上帝寫的一個面額x。當然什麼地方還有兩張支票，面額分別是x/2和2x。

故事四

每一個正實數對應一張支票，你隨便拿了一張支票上邊的面額是x，然後上帝除了面額是x/2和2x這兩張支票和你手裡的支票以外，撕毀了其它所有支票。再給你一次機會，剩下的兩張支票盲選一次。

故事五（續故事四）

你決定盲選剩下的兩張面額是x/2和2x的支票，但是上帝耍賴了，上帝又把剩下的這三張支票上的x篡改了！

故事六

上帝提前寫好這世界上僅有的三張支票，並且告訴你面額分別是x，x/2和2x。面額x的支票面額讓你看到，面額x/2和2x的兩張支票面額不讓你看到，三張支票中選一張。

故事七（改編故事六）

只有三張空白支票，上帝讓你隨便寫一張面額x的支票可以立即拿走。但是上帝又把剩下的兩張支票分別寫上面額x/2和2x，你或可以盲選上帝寫的這兩張支票中的一張拿走。

故事八

世界上只有兩張空白支票A和B，

策略一，選擇A；

策略二，選擇A面額懶得看了，直接換成B。

策略三，選擇B；

策略四，選擇B面額懶得看了，直接換成A。

說白了，其實只有兩個策略A和B。而且A和B是沒有辦法找到差別兩張的空白支票。你【最終】選定四個策略之一，【最終】手上拿了一張空白支票。當你翻看支票面額的瞬間上帝往你拿的空白支票上寫了面額x，另外剩下的空白支票寫x/2還是2x對你來說已經沒有意義了。也就是說預期收益是「上帝」確定的，跟你選什麼策略無關。

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以上更新，拋磚引玉

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先說好，現在有兩個無差別的信封，所以這兩個信封的概率密度函數是一樣的，所以，以下討論的概率密度函數是任意一個信封的概率密度函數，因為另一個也是一樣的函數。

@Richard Xu說的沒錯，說的很對，只不過和這個雙信封悖論無關。

不可能實數集上定義出來的一個概率密度按函數使得【取到任意實數的概率密度都一樣】，因為這就等於說這個概率密度函數是常函數f(x)=C，不管常數C是多少，哪怕C=0，此時都與概率密度函數的定義矛盾！因為它（-∞，∞）上的積分，要麼是∞，要麼是0，怎麼著都不是1，所以【不是概率密度函數】：

【但是】，正如 @Mather King 所指出來的那樣， @Richard Xu 「突然想到的解釋」其實並不是這個悖論的要求。這個雙信封悖論問題沒有要求【取到任意實數的概率密度都一樣】這樣的概率密度函數（上面已經說明，實際上這個要求臣妾做不到！）。還好，沒有要求放多少錢的概率密度都一樣，也就是說，沒要求概率密度函數是常函數f(x)=C，只要求f(x)=f(2x)而已。這裡必須解釋一下，是當x確定下來就等於說放錢的人這時候才定下來總共放3x這麼多錢，而對於其中任何一個信封，是放x還是放2x，概率密度是一樣的，也即對於放錢人任意的x，任何一個信封的概率密度函數都有性質f(x)=f(2x)。這是雙信封悖論的假設，但是下面要說明，壓根兒就沒有符合這種性質的概率密度函數。

其實，符合性質 f(x)=f(2x)的函數未必是常函數，可以是醬嬸的：

這樣的概率密度函數找一段積分，總能找到一個n∈N，使得(2^n-1)p&>1成立，也就是說符合f(x)=f(2x)這樣性質的函數必須不是概率密度函數。（當然，常函數f(x)=C也必須不是概率密度函數。）

打開信封之前你無法判斷哪個信封里的錢更多。

打開信封之後，你仍舊無法判斷哪個信封里的錢更多，只不過知道了賭注的金額之一。

所以換不換信封都是一樣的。只不過是賭一次還是賭兩次的差別。

第一次你賭的是【這個信封錢多】，第二次你賭的【另一個信封錢更多】。

由於無法判斷，所以第二次賭毫無意義。

之所以很多人會賭兩次，是一個心理學因素：這山望見那山高，隔籬花好，對岸景佳，鄰家飯香，偷著不如偷不著……，滿足的是由於知道了賭注金額而產生的期許——比如你拿到了一萬元，你會想有沒有機會拿兩萬，如果你拿到的是一毛錢，那麼5分和兩毛就沒什麼吸引力讓你再賭一次了。

貝葉斯定理就可以解釋

=== 結論 ===

換與不換收益期望是不同的。

在不知道概率分部的情況下，無法判斷那種決策收益更高；

若已知組合為 $(n,2n)$ 的概率為 $P(n)$ ，第一次拿到的信封中裝有 $x$ 元，則另一個信封內金額的期望為 $E=left(frac {3P(x)}{P(x)+P(frac x2)} + 1 ight) frac x2$ 。

也就是說，當 $P(x) > frac12 P(frac x2)$ 時選擇換信封是更佳的策略。

=== 解釋 ===

貝葉斯定理（Bayes theorem）：已知發生了事件B，事件A也發生了的概率為

$P(A|B) = frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$

現在你拿到了第一個信封，裡面有 $x$ 元，這一事件就是上述的事件B。

顯然有且只有兩種情況：兩信封組合為 $(frac x2, x)$ （事件A1）或 $(x,2x)$ （事件A2）

它們的總概率分別為

$P(A_1) = P(frac x2)$

$P(A_2) = P(x)$

已經發生的事件B本應以如下概率發生：

$P(B) = frac12[P(A_1) + P(A_2)]$

其中因子二分之一由信封二選一的過程產生。也是出於同樣的原因

$P(B|A_1) = P(B|A_2) = frac12$

因此另一個信封中錢的期望為

$E=frac x2 P(A_1|B) + 2x P(A_2|B)$

結果已經寫在答案開始了。

=== 評論 ===

1.題主的推論中哪裡出了問題？

沒出問題，不嚴謹的只是假設了所有組合出現的概率相等。在這種假設下，另一個信封中金額的期望為第一個信封的1.25倍。

2.為什麼會有「另一個信封金額期望改變」這樣的事情發生？

這其實很合理，因為兩個信封內的金額不是獨立的隨機變數，打開一個信封的過程改變了另一個信封內金額的概率分部。實際上人們做邏輯推理時靠的都是相關事件之間的支持與排斥，概率論不過是把這個過程量化罷了。

3.「選擇了信封B之後，我又會覺得把信封B換成A更有利？」

別！打開第信封B時已經知道A中的金額了，之前的推理過程不再適用。

4.關於非整數金額的情況。

其實很簡單，P(不是整數)=0 就行了。

5.一些答案質疑概率和期望在決策過程中的作用......

這是反智。與其講道理，不如來點小賭怡情吧！

目前高票的答案全都扯歪了，多少用了一些概率的知識，也並不是那麼通俗易懂。

這個問題批著概率的外衣，但「悖論」的地方，也就是「換信封平均能得到更多的錢」，與概率的部分毫無關係。

「換信封以50%概率得到兩倍的錢，以50%概率得到一半的錢」，其實題主這句話是對的！

但是，這並不意味著換信封能得到更多的錢，這實際上是運用了錯誤的比較方式得出的錯誤結論。

我這麼說可能比較讓人費解，我們把這個問題變一個表達方式。

我打算給你三塊錢。方案一，第一天給你兩塊錢，第二天給你一塊錢。方案二，第一天給你一塊錢，第二天給你兩塊錢。

你會認為「方案一核方案二相比，第一天拿到的錢是第二天的一半，第二天拿到的錢是第一天的兩倍，一半和兩倍平均一下是1.25倍，因此方案一會拿到比方案二更多的錢」嗎？

倍數可以取平均的前提條件是基數一樣。b是a的兩倍，c是a的一半，b+c就是a的2.5倍。b是a的兩倍，d是c的一半，b+d和a+c沒有任何關係，(b+d)/2不等於(2+1/2)(a+c)/2。

這題也一樣，兩倍是相對於錢少的信封說的，一半是相對於錢多的信封說的。基數不同的兩個倍數取平均是沒有任何意義的，這個無意義的平均值造成了本題的「悖論」。這其實就是高級版的朝三暮四的。

正確的方法應該是計算錢的絕對數值的數學期望，而不是倍數的期望。不換信封，得到的錢數的期望是錢少信封的1.5倍，換的話還是1.5倍，因此換不換沒有任何變化。

而至於什麼信封里的錢的分布，題目說的是不知道。如果知道的話，就是另一套數學模型了，這個模型中信封里的錢數可以影響多或少的後驗概率，還可以通過貝葉斯的方法得到一種最大化利益的策略，具體的方法其他答案有介紹，我就不寫了。

更新：

我又想了想，覺得這個答案也有點小問題。問題在於對原問題的解釋上面。我的這個答案認為錢數是確定的，只是不知道而已，模型中的隨機性僅存在於哪個多哪個少這一個地方，因此知道多少錢並不影響拿到的信封是錢多的信封的這50%的概率。而其他高票答案普遍認為錢數也是隨機變數，因此看到錢數會影響到手裡這個信封是錢多的信封的概率。這兩種答案都不完美，對於後者，假設這樣一個錢數的分布並不完全合理，因為題目並沒有包含這層意思。而對於前者，如果硬要問錢數的分布是什麼，好像又給不出一個能自洽的解釋，也就是說我的答案只是繞開了這個地方，而並沒有合理的解釋它。。但現在我更傾向認為這個題目本身是病態的，並不能完美的用數學模型解釋，一定要做一些修改才可以。而不同的修改方式也就得到了不同的兩類答案。

從另一個方面說，如果拿錢的這個人足夠聰明，可以以某種方式估計出放錢人放錢的分布，那麼他就可以根據這個分布制定策略，統計平均地得到等多的錢，這種情況用目前高票的答案解釋更為合理。如果這個人只是無腦選擇換或者不換，那麼他換不換沒有差別，那用我的解釋更合理。

這個問題有點意思，但經不住耐心思考，一較真的話，就能撥開迷霧，看清饒人的地方在哪裡了——兩個信封里的金額只能是N元與2N元，無論你開始選擇的是哪個，如果接下來要換的話，賺了也只能是賺N元，虧了也是虧N元，所以N=N，所以遊戲還是公平的

因為大多數人都陷入了思維陷阱

先介紹一下悖論的由來：題中描述

《假如你選擇了信封A，打開之後得到100元，那麼另外一個信封B裡面的錢可能是50元，也可能是200元》

大家會習慣性的認為B信封裡面是50元或是200元的幾率是「55開」。所以會通過計算得出結論：每次抽到都換的話有一半概率會變成200元（比原來的多100），有一半的概率會變50元（只比原來少50），多出的部分比少掉的部分更多，也就是總金額是會比原來多25% （相信會看這個悖論的都清楚這個梗，只不過怕大家久了會有所生疏，所以比較嘮叨了點）

但有沒有想過，既然已經開了第一個信封，第二個信封為什麼還會有2倍或者一半這兩種選擇呢？第二個信封確實有這兩種可能，但它的值在你打開第一個信封的同時已經確定了，只是你不知道而已。當第一個信封拆出來是100的同時第二個信封是50就是50，是200就是200，是確定的，並不存在你可以在50或200之間選一個。這就是將第二個信封假設成50%概率是x/2 和50%概率是2x的謬誤所在。

其實，當你在選第一個信封的時候就已經產生概率，你有可能抽的是大的，有可能抽的是小的。而大多數人卻陷入了我已經抽到了一個中間數的信封，要不要換？有可能換成兩倍的信封也有可能換成一半的信封。

把原本2個信封變成了3個信封而毫無察覺。

正確的思考姿勢其實小學生都懂：

兩個信封，裡面的金額分別是x 和2x

抽取信封選擇不換，50%概率抽到的是x，另50%概率抽到2x，最終金額的期望值是3x/2。

抽取之後選擇換，50%概率抽到的是x但被換成了2x，另50%概率抽到2x但被換成了x，最終金額的期望值也是3x/2。

所以換與不換得到的錢一樣多。

想拋開數學的嚴謹性去解釋一下這個問題，首先給出結論：

在不拆開任何一個信封的前提下，兩個信封中選擇任何一個，獲得錢數的期望都是一樣的；

而在拆開任意一個信封后，選擇另一個信封會使錢數期望變大；

即問題的關鍵在於有沒有拆開其中一個信封。

方便起見，首先把問題拆分成兩個小問題：

1. 為什麼在拆開任意信封后，選擇另一個信封的獲得錢數期望要更大？

2. 為什麼在不拆開任何一個信封的前提下，選擇任何一個信封，錢數期望是相同的？

首先分析問題1，當拆開一個信封后，獲知錢數為x，那麼另一個信封的一定只有兩種可能，x/2和2x，從觀察者的視角看，兩者一定是等概的，因為只有兩種可能，而且並沒有兩種取值的任何信息。此時，換成另一個信封能獲得的錢數期望為5x/4，大於現有金額x，因此最優策略是選擇換信封。提問者的疑問點在於，既然不管我是否拆開一個信封，選擇換另一個信封都能使收益期望變大，幹嘛不一開始就選擇另一個呢？從而導致了悖論出現，然而這一悖論之所以成為悖論，在於提問者忘記了上面的推論的前提，那就是你拆開了第一個信封，所以就引出了第二個問題，如果不拆開信封，兩者收益期望是否相等。

下面分析問題2，假設第一個信封中金額為有理數X，由於沒有先驗信息，可知其均勻分布於(0, C]內，其中C為足夠大的數，此時X的概率密度函數為f_X(x)=1/C。而對於任意X的取值x，第二個信封內金額Y的等概取為x/2，2x，即P(Y=x/2|X=x)=P(Y=2x|X=x)=1/2，根據X的概率密度函數，可得Y的概率密度函數為f_Y(y)=1/2*f_X(x/2)+1/2*f_X(2x)，即在(0,1/2C]內等於1/C，在(1/2C, 4C]內等於1/2C。當C趨向無窮大時，f_Y(y)趨向於f_X(x)，Y的期望趨向於X的期望。