為什麼正態隨機變數的二次型服從卡方分布？

"如果一個m×1的隨機向量v~N(0，I)並且，Q是一個m×m的的非隨機對稱冪等矩陣，秩q小於或等於m，則二次型v"Qv～x^2(q)." 這個定理該如何證明呢？ 另外，通過這個問題也發覺二次型挺有用的，能否再指教下怎麼深刻的理解二次型的意義？ 有沒有一些比較好的書或文獻可供參考？ 謝謝!

因為是實對稱陣，所以可對角化成，其中是正交矩陣，是對角矩陣，對角元是的特徵值。由於是冪等的，所以特徵值非 0 即 1。因為，不妨設的前個對角元為 1，其餘對角元為 0。

二次型，其實就是向量的前個元素的平方和。，而是正交矩陣，所以也有，其元素服從標準高斯分布且互相獨立。根據分布的定義，。

二次型可以想像成一個二次曲面，當中間的矩陣正定時，曲面是拋物面。拋物面的橫截面是橢圓，橢圓的軸向是矩陣的特徵向量的方向，半長軸與特徵值的平方根成反比。在你這道題的例子中，去掉特徵值為 0 的那些維度後，剩餘維度的特徵值都是 1，拋物面的橫截面是正圓。