如何理解這個關於歐拉公式的視頻？

01-15

視頻鏈接：
【最神奇的數學公式】直觀理解e的πi次方等於負1 @柚子木字幕組
表示從05:16開始跨度太大，後面的都沒聽懂。。。
============
這種理解方式有什麼術語名稱么？

1. 在一維情況下，加子表示橫向平移，乘子表示放縮。

2. 在二維情況下，加子表示橫向平移加縱向平移，乘子表示放縮和旋轉。

3. 二維情況下的數（複數）與一維情況（實數）相比，多了虛部，那麼就讓加子中的虛部經過e^x轉換成的乘子表示旋轉。

4. 一個形如e^(ai)的乘子具體旋轉多少呢？一種合理的設定是讓單位點轉過a的弧長，即平面轉過a的角度。

5. 於是，e^(πi)就是旋轉180度，這跟-1這個乘子等價。

答主是大一學生，複變函數什麼還沒有學，TeX也是第一次用，答的不好還請見諒。

首先視頻中定義了加子和乘子，其在實數軸上的幾何意義是平移與拉伸。

接著看似都是廢話的講 $e^{x+y} =e^{x} e^{y}$ 才是關鍵所在。

它將這麼多是要告訴你， $e^{x}$ 這個「自然」函數是由 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 所定義的

那麼這個函數就負擔起了在實數軸上將加子與乘子轉換的功能。

把這個函數推廣到複平面，關於旋轉就不多講。問題是怎麼看這個 $e^{ipi }$

在實數軸上，單位是1；而在虛數軸上，單位是i

所以說以上的式子實際上是 $f(x*1+y*1)=f(x*1)f(y*1)$

那麼不妨將 $e^{ipi }$ 看作 $e^{pi i }$ .那麼在虛數軸上， $pi$ 是一個加子，雖然看起來是與i相乘（好吧，這都是答主的直觀感覺）。

那麼，為了表現這種在一維直線上不直觀的加法關係，將長為 $2pi$ 的虛數軸裹成一個圓，也將複平面變成了一個類似圓柱的壁，然後將這部分虛數軸上的平移加子與平面上的表旋轉的乘子實現一一對應。

在複平面上，這個"自然「的函數仍然要承擔將加子與乘子轉換的任務。

那麼，加子是這個 $pi$ ，其代數含義是 $pi i-0$ ,幾何含義是在這部分半徑為1的虛軸上轉了半周，或者平移到了原點，這個變化距離就是 $pi$ （就是把這部分虛軸首尾相連映射在一個圓上）要把它轉換成乘子，只需看旋轉多少度走過的距離是 $pi$ 。由於我們選取的單位是一個 $i$ ，自然是半周 $i^{2}$

更簡單的說：通過 $2pi$ 的加子運算可以得到旋轉一周即 $i^{4}$ ，

最簡單的來說， $pi i$ 在數軸上這麼長的距離與旋轉半周的距離相等

由此得到歐拉恆等式 $e^{ipi } =-1$

不知道這樣理解可不可以，還請各位指教。

首先視頻的基礎是建立在數字運算

表示的具體含義上。

即，如

定義2+3，為

表示把對應的2平移至原點，再重新畫坐標，把3再平移至原點結果就是，和把最初的坐標軸上的5平移至原點結果一致，也就可以把對應的5定義為運算的結果。

這裡和普通加法運算一致!!!(實則這類加操作構成一個群與普通加法群同構)

(另外這裡數字含義已經不是理解為數數用的數字，而表示操作及其大小程度。這是因為數字用於數數這個概念本身的局限性，故在推廣到複數中就很難理解了，而操作，可以推廣至複數進行理解)

乘法類似(除去整個軸都縮為一個原點這個操作，對應普通乘法的乘0) (群同構)

接下來要尋找兩個操作的這種關係 h(x+y)=h(x)h(y)

即尋求操作加法群，與操作乘法群滿足這種關係的函數，兩個群就同態了!!!

這裡我們還可以藉助實數運算中的指數函數來實現這兩個操作群的轉換!!!(應該沒有其它的初等函數有這個能力? )

實則上面都沒有什麼新的東西，或者反而更不利於理解了，把數數字換成操作數，這不成心添亂么，何況它們並沒有本質的區別。

但下面按操作理解的優勢來了(這或許就是製作視頻者的初衷)。

推廣至複數域以理解歐拉公式。

首先我們要將操作也推廣到複數域，怎麼推廣？

很自然的想法是

是將一維平移操作推廣到二維平移操作，也就是允許水平和豎直方向的平移

那麼單純的拉伸壓縮，就要推廣成沿水平和豎直方向的拉伸和壓縮，不過這個操作可以等效為旋轉+(一個方向的拉伸與壓縮)

而這兩種操作關係的轉換

h(x+y)=h(x)h(y)

起初由實指數函數表述

自然推廣至由復指數函數表述。

前面提到推廣到複數，拉伸壓縮操作等價於，一個方向的拉伸與壓縮+旋轉。而對於復指數ae^(bi)

而言，恰恰只有兩個未知量，那麼我們把前面的a看成拉伸壓縮的程度，而把b看做旋轉的程度(角度)，最初的點一致為i

為什麼可以這樣對應,而不是把對應順序顛倒一下，這個留給諸位思考。

現在e^(πi),表示將i逆時針旋轉π，那麼可以定義它為-1，就有e^(πi)+1=0

(實則歐拉公式,不叫歐拉公式，歐拉最初是用定義給出這個公式的，大概是看到這個定義很合理，又沒有與當時已知的數學矛盾，才敢這麼乾的吧！)

呃，手機碼字真心不容易啊……

直觀解釋不要試圖精確理解，大概感受了意思就行。

要精確理解就去看教材。

我表示學了16年的數學，今天看了這個視頻居然又開竅了。

數學系出身表示看這種東西還不如我手推 1分鐘就出來了