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對庫倫勢函數1/r的傅里葉變換？

01-15

對於不收斂的函數1/r的三維傅里葉變換存在以下關係，我暫時拋開不收斂的情況，簡單做了一下積分，因為r可以延伸到無窮遠處，所以也是得到了一個不收斂的積分，請問正確的做法應該怎樣？

這是一個古老的trick. 你可以將庫倫勢先改成湯川勢，也就是

frac{1}{r} ightarrow frac{e^{-mu r}}{r},

然後再求解湯川勢的傅里葉變換。當然，最後需要把湯川勢中的mu ightarrow 0.

題主是不是在學習量子力學中的散射理論？

看來沒人答了，自己答吧。

注意到1/r就是點電荷的勢函數，寫成泊松方程的形式，把F(1/r)轉化成求F（Delta 1/r），即在拉普拉斯算符上作用傅里葉變換，正好是一道習題，見下physnet.uni-hamburg.de 的頁面

這個解法在Terence Tao的一個slide上找到了，其實就是傅里葉變換的一個重要性質ucla.edu 的頁面

一般我們會對可積函數做Fourier變換 但是1/r是不可積的 所以這裡的這個Fourier變換實際上是把1/r看成一個distribution（某個函數空間上的連續線性泛函）來做Fourier變換 具體的 可以查一查 與廣義函數論相關的書籍 推薦Sobolev Spaces. By Adams 或者夏道行的《實變函數論與泛函分析》 希望能幫到你。

前面 @李恩志 博士提到的做法具體過程是：

1/r 的傅里葉變換 - Joyful Physics

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