怎麼樣才能學好概率論呢？

01-15

如題。這裡的概率論不是經管專業的概率論與數理統計。就是數學系的概率論，像圖片上的一樣，一篇篇的只有各種定理證明沒有例題。。。馬上就要期末考了，求問如何速成概率論（別光說看一遍書就行啊巴拉巴拉，看了三四遍了，還啥都不會呢〒_〒）

題主問怎麼複習一門課，連這門課學了什麼都不放出來讓人怎麼回答……

數學系的概率論分兩到三門課，概率論(各種分布，Bayes公式，期望等等)，基於測度論的高等概率論（LLN和CLT），有的學校開課可能還包括一部分隨機過程。

上過的人都知道這些定理嚴格證出來需要多少公式，關鍵是你上的這門課需要多少。

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看題主的照片像是嚴格證明大數定律和中心極限定律的高等概率論，這部分就是非常理論而且非常測度/分析，作業/考試題也是證明為主（都在數學系了哪門課不是這樣）。要想複習還是要把定理和定理中用到的各種技巧搞明白。以及要搞明白各個定理之間的聯繫：很多定理都是首先在比較強的條件下用簡單的方法先證明出結論，然後通過各種技巧（主要是各種moment estimation 和tail estimation）給出適用範圍最廣的結論。

試著寫一寫我印象中的要點，有時間再展開。

1、測度的相關概念：

以概率收斂/弱收斂，L1收斂，a.s.收斂；

單調收斂，Fatou引理，控制收斂定理；

連續映射定理（X_n弱收斂於X則f(X_n)弱收斂於f(X)）

2.常用工具

馬爾科夫不等式、切比雪夫不等式（各種定理們最開始的證明方法）

Borel-Cantelli引理（證明a.s.收斂必備神器）

3、弱大數定律：

獨立同分布二階矩存在下用切比雪夫不等式證明（顯然）

考慮三角形數組，減弱「同分布」的條件

通過truncate的方式將「二階矩存在」的條件減弱到「一階矩」

4、強大數定律：

在四階矩存在的情況下證明（相對簡單）

用truncate+Borel-Cantelli降低矩的條件

通過抽取子列的技巧得到最後的收斂

*印象中有一個三級數定理被放到中心極限定律那章用特徵函數證明了

5、中心極限定律

一定條件下，特徵函數收斂代表對應分布弱收斂

通過各種不等式證明特徵函數收斂到正態分布的特徵函數（分為同分布情形和三角數組情形）。

最後如果題主對英文教材不反感的話，Durrett的Probability: Theory and Example的對應章節有很多例子和習題（網上貌似能搜到答案），有可能能幫助理解。