結構力學中，如何判斷一個結構的超靜定次數？如何避免經常性的算錯？

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這個……我只能大概說一點我的見解：一根桿可能的移動方式有三種——X方向平動，Y方向平動，轉動。桿件與地基之間約束有支杆（-1）、固定鉸支座（-2）、固定支座（-3）；桿件之間約束有鏈桿（-1）、鉸接（-2），剛接（-3）。然後每個桿件（包括可以簡化為桿件的類桿）自由度為三。超靜定次數等於總桿件數乘以三，然後減去約束的個數。具體情況具體分析，多做做題，自然而然就找到感覺了。由於結構力學是研究桿件系統的力學，而對於面力學、體力學，就需要更多在彈性力學，塑性力學，彈塑性力學等中尋找答案了，有的研究目前全世界都沒完全弄懂。——以上個人拙見，歡迎交流意見

靜定與超靜定的概念及判斷口訣

——「靜」、「定」兩字訣

不論文科還是工科，就理解一些術語、概念來說，會一門鳥語絕對是一項極其實用的技能，因為你會發現，這些鳥語的作用就是把那些不知所云的漢字組合翻譯成大白話。

「首先，什麼是靜定結構和超靜定結構呢？……」那些站台的老和尚們能像念經似得嗡嗡一節課基本概念……此時建議好學者們屏蔽念經聲，翻到書後英文索引，使用鳥語技能十分鐘搞定基本概念，然後拍拍屁股瀟洒走人，順道嘲笑一下睡倒一片的同志們和那位站台念經的老和尚。

英文靜定結構statically determinate structure，超靜定結構statically indeterminate structure。副詞statically，意為靜態地、靜止地。所以「靜定」的這個「靜」字，不是安靜，而是靜止不動的意思。而這兩個結構根本區別在於能不能determinate。翻翻字典，determinate確定的、可推斷的……所以「靜定」的「定」是「可以確定的」之意。換句話說，「定」就是可以通過計算求出力的大小與方向。所以靜定和超靜定結構就是「靜、定的結構」和「靜、不定的結構」。「能定」和「不能定」是兩種結構體系的區別所在。至於「超靜定」這個「超」字，實在讓人有些摸不清頭腦（理解為「超級地靜止」還算正確）

好了，可以走人了……

判斷結構體系的二字真言：「靜」字訣與「定」字訣。

「靜」字訣：

常規上來說，結構師的任務就是想方設法地使一個建築物的結構體系在受任何外力作用下仍然能夠靜止不動，否則風一吹，雪一壓房子就塌了。所以這個「靜」字訣，就是設法使一個物體靜止不動，限制其活動的自由（官話說：使這個物體活動的自由度為零）。

讓它不動，就得先看看它能怎麼動！

二維平面里，x軸和y軸兩個方向是點A活動的所有可能，也就是說一個點在二維平面內有兩個自由度（w=2）。要讓這個點徹徹底底地不能動彈，只需提供x軸（水平維度）和y軸（豎直維度）兩個方向的反力（r=2）來限制點A的自由，此時它的自由度便為零（W=w-r=2-2=0）。當點A延長成直線AB，雖然點A不可移動，但直線卻可以以點A為中心旋轉（也就是說這條直線本身在二維空間里有三個自由度：水平維度、豎直維度、旋轉維度 w=3），所以為了使直線不動，就需要再添加一個不讓它到處亂轉的反力矩Ma。同理二維平面中的一個剛體rigid body（可以忽略形變的固體）和直線一樣具有三個自由度，讓其靜止不動，也同樣需要三個反力（約束）來限制這三個維度上的活動自由。

念「靜」字訣實戰一下：

第一步，看看這個結構體系總共有可能移動的自由度：?、?兩個剛體，一個剛體在平面中有三個自由度—水平維度、豎直維度、旋轉維度w=3，兩個剛體乘2，於是w=3×2，也就是說這個體系有6個自由度，要讓它靜止不動，就需要6個反力。

第二步，數數支座和鏈接所提供的反力（約束）數：支座A——剛性支座——3個反力、支座B——滑動支座——1個反力、鉸連接G——水平和豎直方向2個反力，所以反力（約束）數總和r=3+1+2

第三步，看看整個結構體系還剩幾個自由度：W=w-r=3×2-(3+1+2)=0——自由度為零——至此可以判定該結構體系能夠靜止不動，是一個靜定結構。當然，在計算出自由度為零的情況下，存在許多並非靜定結構的例外，這裡不啰嗦，翻教材去。倘若計算出來的整體自由度大於零，說明這個結構有自由度，所以它是絕對不能靜止的，此時沒有例外。倘若計算結果為負，這說明不但沒有自由度，還多了些多餘的約束，這個結構體系便是一個「靜、不定的」的超靜定結構了。好比本來一個警察就能把你摁倒在地、動彈不得，可你還有力氣和他掙扎一下，這時又來一幫警察撲你身上，那麼你就徹底歇菜吧，這時的你就可以說是「超級地靜止」……

接下來換個思路，從「定」的角度再進一步理解靜定與超靜定。

「定」字訣：

線性代數的知識中，求三個未知數至少需要三個線性不相關的方程，換句話說，求一個未知數至少需要一個方程，求兩個未知數至少需要兩個方程，求三個未知數至少需要三個方程，求n個未知數至少需要n個方程。當三個方程中有四個未知數時——方程無解，這就是前面所說的indeterminate——無法確定。靜力學的主要任務無非是要求得N、Q、M值——三個未知數，就需要三個方程，少一個方程就求不出結果來。

來看「定」字訣在二維平面中的公式：

n=(a+3p)-(3k+r)。

n——indeterminate的量

a——所有支座反力的總和

p——所有桿件的數量 pole

k——所有節點的數量

r——附加方程的數量

在二維平面中的一個結構體系，要determinate（確定）的未知數的數量總和為a+3p，能夠列出的方程數為3k+r。N個未知數N個方程，所以用未知數總和減去方程數即indeterminate的量n=(a+3p)-(3k+r)。如果n等於零——方程組可解——那就是determinate，如果n大於零——方程組無唯一解——那就是indeterminate。

第一個問題：那麼為什麼說3k+r就是體系中能列出的方程總數呢？

既然r是節點數，那就先看一個鉸鏈接（k=1）加兩個桿件的例子。上圖左，鉸鏈接處可以輕而易舉地列出三個初中就會的靜力平衡等式，水平一個平衡N1+N2=0，豎直一個平衡Q1+Q2=0，彎矩一個平衡M1+M2=0，不過都大學了，就得寫的專業些:

可見，一個節點處可以列出三個方程，所以一個結構體系有k個節點（注意：支座、鉸鏈接、剛鏈接和桿件末端都是節點），就能列3k個方程。什麼是附加方程數r呢？鉸鏈接處彎矩為零！也就是說除了M1+M2=0我還能再添上一個方程M1=0，所以此時r=1，那麼3k+r=3*1+1=4。至此，一個鉸鏈接（k=1）加倆兒桿我們總共能列四個方程。

你會問，M1為零M2不就為零嗎？M2=0為什麼不算上去，r應該等於2啊？其實M1=0和M2=0它倆互為廢話，說誰都一樣。因為前面已經列了M1+M2=0,我說其中一個為零，另一個也就自然為零了，所以這句廢話不算數！那再加上一個桿兒什麼情況呢？上圖右，首先M1+M2+M3=0, 其次M1=0，這時候M2=0不再是廢話了，M3=0卻還是廢話，道理同上。所以這個r等於和鉸節點連接的桿件數減1！至於剛節點，不存在彎矩為零的可能，所以放寬了心，全當r是空氣。

第二個問題：為什麼a+3p是全體「待求的」未知數？

支座反力不用多說，上來第一個就是要求解的，因為它們最重要，一個建築物如果地基不穩，上面的一切都是白扯。3p也好理解，一個桿件的三個未知量：N、Q、M——俗稱力學三件套！本科的力學課就是和這三件套死磕，三者纏纏綿綿、你中有我、我中有你，如果能徹底捋明白它們三個千絲萬縷的關係，那你也就基本學透了靜力學。不過以後再捋，回到正題。接下來你會問：NQM三件套不都是變數么，你求哪一點的？答：求節點處各個桿件NQM三件套的值。至於為什麼，以後畫三件套示意圖和使用積分大法時自然會明白。

實戰，還是上面那個，這次用「定」字訣來辦你！

第一步，數數：支座反力a——支座B水平一個反力——剛性支座A三個反力——a=1+3=4。桿件數p——a段一個，b段一個，c段一個，h段一個——p=4。節點數k——F、B、G、L、A——k=5。附加方程數r——F處為桿件近端r=0——B處彎矩不為零r=0——G處為鉸節點，接兩個桿兒r=1——L剛節點r=0——A剛節點r=0——r=0+0+1+0+0=1。

第二步，減！未知數減去已知方程數：n=(a+3p)-(3k+r)=(4+3*4)-(3*5+1)=0，說明方程組有解——determinate。於是可以判斷該結構體系為「靜定」。

雖然「靜」字訣和「定」字訣所計算的結果一樣都為零，但是w和n所代表的意義並不相同。w是活動的自由度，而n是未知數數量與有效方程數量的差。w為零，說明結構體系靜止不能動；n為零，說明未知數數量正好等於有效的方程數量。w為正，說明結構體系不穩定；n為正，說明未知數比有效方程數多，無解indeterminate。w為負值，說明存在多餘約束，結構體系超級靜止不動；n為負，說明未知數比有效方程數少，同樣不可解indeterminate。

兩個口訣哪個更實用？雖然經典朱版教材只教給我們「靜」字訣，但抄起筆來硬算，應付苦逼考試的時候，「定」字訣會更勝一籌！因為「定」字訣只要會掰手指頭數數兒和加減法，而「靜」字訣要一個個掰扯自由度，還得記住那些啰啰嗦嗦的個別情況。在理想桁架體系中，「定」字訣更是橫掃千軍，判斷靜定還是超靜定只需彈指一揮間的事兒（因為我們在桁架體系統中只考慮桿件的軸向力，所以3p變p，又全部都是鉸節點，就可以3k變2k，踢掉r。n=(a+3p)-(3k+r)於是就簡化成了n=(a+p)-2k）

不過，我並非否認「靜」字訣存在的意義，把他們都掰扯明白絕對有助於今後打通任督二脈。選哪個當必殺，讀者體驗後自行定奪吧。

如果我沒有記錯的話，龍馭球先生編著的結構力學第二章就有這個內容。

我來簡單的說吧。不用那麼複雜。

因為看多了，很多時候不用去算。在某個你認為有超靜定地方，1-切斷。看是否穩定。恰好穩定就是三個多餘約束。

2、增加一個鉸。看是否穩定。穩定，再增加，不穩定。那麼它就是一個多餘約束。按照這個套路，就可以知道啦。

蚊子不多，很直接吧。具體演算法，等吃完飯，畫圖，上圖。

如果不需要寫出基本未知量Xi的話，只需求出計算自由度，再取絕對值，就是超靜定次數。所以，確定超靜定次數實質上就是確定計算自由度。好好把計算自由度怎麼算搞清楚，超靜定次數也就確定了。

從 自由度 入手就沒錯也很有效，我當初也是這麼做的

解決習題沒問題

題主對書上這部分概念細細琢磨，再找例子練練即可。

超靜定次數說白了就是靜定結構外的多餘約束

因此第一步，先找其中的靜定結構，將其看為一個鋼片

第二，看這幾個鋼片間的聯繫【三餃、一桿一餃還是六連桿】出去括弧里用到的約束，其他就是多餘約束了

僅個人經驗之談，自覺比較好用

建議看看朱教授的教科書