無窮大減一還是無窮大嗎？

∞+1=∞容易理解，就是再擠進去一個1然後原來的1到2，2到3，3到4……那麼∞－1呢？

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由於 ，， 時 。故 ， 時 ，此時 ，即

人們易想到的一個無窮大的定義方式是1,2,3,4,....的極限，即一個發散序列的極限。然而，在此時，無窮大並沒有被嚴格的定義，因為按照極限的定義，此時序列不存在極限。而在討論數列中，「無窮大」一詞不會單獨出現，只會在「趨向於無窮大」中出現。由此可見，這個「無窮大」並不是一個被明確定義的量，而只在「趨向於無窮大」中表示一個數列的某一個性質。

為了嚴密地定義無窮大，一個方法是引入集合論。Ordinal numbers就是這樣一種包含無窮大的數系。一種定義ordinal number的方法是將每一個ordinal定義為所有比它小的ordinal的集合。例如，空集， , 是最小的ordinal； 是比它大的ordinal。我們可以用0來表示 ,1來表示 ; 類似的，我們可以定義所有自然數對應的ordinal；例如， 。那麼此時，不難發現所有自然數構成的集合也是一個ordinal，我們記為 。不難發現， 是一個無窮大，即他比所有有限大的數都大。不過它並不是最大的ordinal，我們可以定義 ; 這是一個比 大的無窮大。類似的我們可以定義出許多不同的無窮大。在ordinal arithmetic中，加法是永遠被允許的；按照加法在ordinal上的定義，交換律並不存在： ,而 。然而減法沒被定義。不存在一個數是 , 即不存在一個數 使得 。

*推薦閱讀：On Numbers And Games by John Horton Conway

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有待更新

TODO：

引入ordinal加法的定義

介紹surreal numbers

歡迎各種改進建議。

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無窮小和無窮大即不是常數也不是變數。

用無窮大表示自然數集(實數域)的上界限(上下界限)，是為了方便記寫。自然數和實數都不存在最大值；∞+1並無意義。

而在極限中，那是代表無窮大的變數在參與運算，而非無窮大這個符號。

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無窮大減任何有限量都是無窮大。而且你對無窮大+1的理解也很奇怪，為什麼要擠進去，無窮大就算你把它考慮成一個值，也跟順序沒關係吧，為什麼要1到2，2到3。

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首先這個等號關係無法成立，∞的概念更趨向事是一個哲學概念，是一種大的哲學意義，如果用嚴格的數學語言定義那就是unbounded limit，換一種方法說，

對於趨近於0，《莊子 天下》云：一尺之錘，日取其半，萬世不竭。這是一個逼近的理解，那你想兩個一尺之錘，間隔一天開始日取其半，兩錘相減，仍然萬世不竭，能相減是因為我們知道它一開始都是一尺，日取其半，萬世之後我們還知道是多長，但是它無限減小卻無法到0。

用上面的概念引入到∞，《莊子 逍遙遊》云：

北冥有魚，其名為鯤。鯤之大，不知其幾千里也 化而為鳥，其名為鵬。鵬之背，不知其幾千里也。

那麼我們不禁要問，到底是鯤大還是鵬的背大呢，或者說，兩隻鯤和一隻鵬的背哪個更寬呢，很明顯，我們雖然知道他大，但是我們無法比較，因為對於這兩個：不知其幾千里也。

這裡，幾千里就是無窮，而不知這個詞告訴我們，四則運算是沒有明確意義的。

算是抖機靈的理解，這是我在讀雜書過程中的一些體會，希望對你有幫助。

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如果你想說lim n-1的話，是無窮

如果你想說無窮減1的話，只能告訴你，沒意義

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∞ 是數學上默認的比任何一個實數的絕對值都大的一個概念。它本身不是數。這是因為，給定任何一個實數，無論其絕對值多大，我們總可以舉出比它更大和更小的實數。

既然 ∞ 不是數，那麼 ∞-1 等於多少也就沒有意義了。

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同學，首先無窮大不是一個數，而是一個過程，簡單講，一個絕對值可以比任何一個正數都大的過程就是無窮大，比如1/x，當x趨於0的過程中，1/x的絕對值可以比任何一個正數都大。於是，所謂的無窮大減去一個常數a，絕對值就會比任何一個正數減a都大，當然絕對值也就是比任意一個正數都大，也就是還是一個無窮大。

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@朱奕帆

正因為滿足α=γ+β的γ並非對任意αβ都存在，所以減法的定義不是當α=γ+β時α-β=γ

序數減法的定義是α=β+γ時α-β=γ

所以無窮大減一還是無窮大

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無窮大是一種趨勢，而非一個值。

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是，詳情見微積分上冊

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單說∞+1或者∞-1應該沒有什麼意義，還是無窮。

但是如果有個區間的話，比如：1到∞，再做加減法，應該就比較有意義了。

新手回答

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無窮大和無窮小都是一個動態量，∞只能說它比任何你拿出來的數都要更大，所以無窮大減去一個常量……有意義嗎？

就連∞–∞也沒辦法計算呢……

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英菲尼迪少了一塊漆，它也還是英菲尼迪。

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量變導致質變，加一隻是量變，無窮是質變

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兩者不能比大小

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無窮集的定義就是這個集合的一個真子集能和它本身等勢。所謂等勢即兩集合間可以建立雙射。

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無窮大不是一個值

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或許可以用階數來理解，-1或者減一個常數都是比原來無窮大低階的數，不會影響到原來的無窮大。

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一滴水成不了河，再加一滴水兩滴水還是成不了河，然而我不停地加啊加，然後就能成河了。這是一個量變到質變的過程。

然後再看這一問題，首先題主的無窮大應當看作一個函數或一個變數，比如x或f(x)，然後不停地加減1可以看作是加減n，所以題主的問題應該是

或

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根據定義，

∞±a=a∞=∞ (a≠0).

∞/∞,∞?0無意義。

--正經回答結束，下面是不嚴謹的討論--

無窮大（在拓展實數域之前）不是一個數，而是一個符號。

譬如 lim_{x
ightarrow 0}{frac{1}{x}} 就是「可以任意大」，即所謂的「無窮大」。

當然，可以定義一個數（屬於 超實數）ω大於所有的實數。此時有ω+1也是一個數，且大於ω。

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