泛函分析中的運算元理論的背景和動機？

01-15

題主最近剛學習泛函，感覺那些和運算元有關的結論很抽象，學起來沒有動機很難受，希望有人能舉一些例子說明它們的用處，謝謝

謝邀，在學習泛函分析的時候，知道某種概念的應用是非常重要的，我推薦你選好一些好的教材，我個人在自己的專欄裡面介紹了一些泛函的書，你可以參考。

我不清楚你說「運算元理論」在你心裡是指代一般的運算元理論「緊運算元、壓縮映射運算元」還是「運算元譜分析和運算元代數」的內容。我隨便說一說吧：

我在專欄文章：

（I）Banach空間和不動點定理 2 : 不動點定理和鐘擺問題（I）Banach空間和不動點定理 4: Schauder 不動點及其應用

中提到了「緊運算元、壓縮映射運算元」的一些簡單應用，在這些問題中一個方程解的存在性往往和一個運算元的不動點相聯繫，這樣運算元的性質就決定了解的存在性，自然運算元是非常重要的。

另一個非常簡單但是重要的運算元就是「對稱運算元」，這類運算元和橢圓形問題息息相關, 比如

$Au:=-Delta , u+a , u$ ，這類算譜遍存在於數學物理當中，比如如果你能證明一個對稱運算元是自伴的而且 $(A u,u)geq alpha |u|^2 quad uin D(A) (alpha>0)$ ，那麼 $Au=f$ 肯定存在一個解。根據運算元譜理論我們甚至可以有 $A^s x=int_{0}^infty lambda^s dE_{lambda } x$ ,其中 $E_lambda$ 是一個譜分解，然後解就有一個表達 $u:=A^{-}f=int lambda^{-1} dE_lambda f$ 。如果 $D(A)Subset X$ 那麼，這個譜分解可以寫成「離散」形式:

$A^s x=sum_{igeq 1} lambda_i^s (x,e_i) e_i$ , ${e_i},{lambda_i}$ 分別是一組特徵向量和特徵值，並且前者構成一組基，這一點可以允許我們使用各種數值方法來計算非線性（偏微分方程）問題 $Au=f(u)$ 。另一方面，運算元 $C^*$ 代數在數值分析中的逼近論上也是有很大用處。

建議你繼續往下學，現代數學不懂運算元基本上沒辦法學下去。

運算元無非就是函數論裡面矩陣的推廣，簡單的說積分方程的解就是運算元求逆。當然作為抽象的概念來說banach代數本身就很值得研究，尤其是其譜點的拓撲問題。

學量子力學唄