開普勒在沒有微積分的情況下如何推出開普勒第二定律呢？

01-15

開普勒第二定律中涉及到了橢圓的面積問題，但是沒有微積分的情況下如何得到這種結論呢？（本人小白，請各位大神指點）

他確實是隨便畫了個圖估算出來的，並且他的前提和過程基本上都是錯誤的——蛋疼的是他的結論是正確的。

開普勒使用第谷的數據，哥白尼的模型，計算火星位置有個不太大的誤差，8分左右

地球能明確觀測到太陽運動不均勻——換言之就是地球公轉速度不均勻

因為行星亮度變化問題，早在古希臘人們就假設了行星與太陽的距離不總相同。

這裡面有幾組關係

【行星運行速度】與【行星與太陽的距離】
【行星運行一小段（微分）距離所需要的時間】與【行星運行速度】
【行星與太陽的距離】與【行星與太陽連線划過的面積】

開普勒錯誤的認為，行星運行速度和行星與太陽的距離成反比

開普勒認為行星運動是因為太陽帶動以太轉動，以太帶動行星轉動——划去，這句沒用

我們知道，t=s/v,亦即運動一段距離所需要的時間與速度成反比

所以開普勒就認為，行星運動時間與行星和太陽的距離成正比……

扇形是運動的半徑掃過的面積，在阿基米德時代就有的面積是無數線段的和的認識，是一種樸素的微積分思想，但是人家阿基米德說的是正圓的扇形，開普勒大膽的把他應用在橢圓上，行星與太陽連線掃過的面積就等於無數瞬時行星與太陽的距離的和。這可能就是 @折劍頭所說的所謂微積分萌芽吧，呵呵開普勒確實用到了。

前面說了，距離和時間是正比關係，所以相同時間掃過的面積就相等。

開普勒和哥白尼都很有些受到畢達哥拉斯學派的影響，對某種整齊的形式過分偏愛……

我猜可能是畫了個圖估計出來的。

開普勒那個時候沒有嚴格的微積分理論，但一些微積分思想的萌芽還是有的。就像阿基米德那個時候也沒有微積分，但不妨礙阿基米德通過使用微積分思想萌芽得出球體的體積來。

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補充一下，我並不清楚開普勒是怎麼得出三大定律的，我說的微積分思想的萌芽，指的是開普勒在計算橢圓面積時採用的方法：

高票正解，我來補充。

開普勒三定律其實有兩個的最原始版本都是錯的（或說存在問題的），分別是第二和第三定律。

第二定律中，開普勒一直以為天體速度乘上天體到太陽距離就是單位時間內掃過的面積。然而實際上不是，這之間還要少一個正弦。事實上，這並不需要微積分就可以算出來，我只需要天體在某一位置的平均速度就可以了。那為什麼開普勒的方法是錯的，然而結果卻是對呢？因為大多數星體走的軌道離心率太小，明明就是一個圓，所以影響微乎其微。

第三定律，其實開普勒也是有問題的。他的原始定律不是周期和半長軸的3/2成正比，而是和「平均距離」成正比！但是他自己也沒說平均距離是對誰平均，對角度？時間？弧長？三者全都是不一樣的。不過如果對於圓軌道來說，三者就一樣了，都是半徑。因此對後來牛頓猜出平方反比率也沒有影響，反正是用圓猜的。事實上，後來發現，對弧長平均才是半長軸。所以開普勒第三定律實際也有瑕疵，不過還是因為大多數星體軌道太圓了，影響不大。

偉大的科學有許多不是一開始就算出來的，而是根據數據對出來的，開普勒根據第谷等人的數據得出結果，不是算出來的。還有偉大的德布羅意波長，甚至偉大的相對論也不是推導出來的，而是洛倫茲硬給出計算方程，而愛因斯坦把它推廣到一切的計算。實驗、觀察和數學計算在物理學上同等重要，當然最後數學公式要能說明一切。

光學裡還有一個著名的巴爾末公式，老人家硬給出來的

記得之前看一個視頻，MIT一個教授說開普勒之前發了很多灌水的、毫無意義的文章，但是最終他得到了三大定律。所以我大膽猜測他不是推導出來的，而是得到觀測數據後蒙的。

所以我們這些科研民工，還是得多灌灌水，指不定哪一天就搞了個大新聞。

是通過觀測的數據感覺出來的，對，就是數字的直覺。當然這話費了很長很長的時間。當時如果開普勒會微積分，想必也輪不到牛頓發現萬有引力定律了不是嗎？

開普勒其實是歪打正著，做了三個錯誤的假設，得到了正確的結論

發明這些數學公式的人都是天才，管他怎麼得到的呢~~

只要有了加速度始終指向固定中心這個假設就能證明，用了一點近似可以算是微積分的思想吧。