無理數究竟是怎樣存在的？

01-15

比如根號2，是一個無限不循環小數，在數軸上卻又確定的點，但是因為它是無限不循環小數應該是每後一位都在離零點越來越遠，那麼如何在數軸上保持一個確定的位置？還有圓周率，長度為一的三角形的斜邊同理，這些是以一種怎樣的方式存在？

這個問題很有意思。

首先可以肯定無理數在數軸上是一個固定的點，以 $sqrt{2}$ 為例，我們把這個固定的點叫做 $sqrt{2}$ 。為什麼說無理數在數軸上是一個固定的點呢，形象地看，以1為兩直角邊，我們很容易得到 $sqrt{2}$ 的長度，這個長度是固定的，我們完全可以在數軸上標示出來，從而這個點在數軸上存在並且是固定的。

$sqrt{2} =1.414213...=1.k_{1} k_{2} k_{3} ...k_{n} ...$

只要 $n$ 確定了（無論多麼大），則 $1.k_{1} k_{2} k_{3} ...k_{n}$ 就是一個確定的有理數，它顯然不是無理數 $sqrt{2}$ ，只有 $n$ 趨於無窮大（即 $n$ 等於無窮大）時，這個實數 $1.k_{1} k_{2} k_{3} ...k_{+infty }$ 才等於 $sqrt{2}$ ，即

$sqrt{2} =lim_{n ightarrow +infty }{1.k_{1} k_{2}k_{3}...k_{n}...}$

雖然實際中我們無法取正無窮大，也就是說我們無法用一個有理數來精確地表示無理數，正是因為我們無法用有理數來精確地表示無理數，導致我們以為那個無理數在數軸上不固定，實際上無理數是固定的，只是我們用來逼近無理數的有理數永遠無法接近無理數而已。

從極限的角度來看，極限 $lim_{n ightarrow +infty }{1.k_{1} k_{2}k_{3}...k_{n}...}$ 一定存在而且是唯一，因為 ${1.k_{1} k_{2} k_{3} ...k_{n} }$ 是一個單調遞增數列，且有界（因為兩直角邊確定的第三邊肯定是固定的），從而極限存在。

是否可以這樣認為：無理數是某種形式的自變數為自然數的有理數數列的極限。

顯然，1&<√2&<2,而我們可以用特定的方法漸漸逼近他的值，比如二分法。而包含他的區間長度也越來越小，趨近於0，這個就像導數在函數上一樣，就是函數上兩點的連線，而兩點越來越接近，而根據極限的定義，這個√2，也漸漸「確定」了。我覺得可以把點當做長度趨近於0的直線（也許不怎麼準確）。

另外，√2是個代數數，可以用尺規作圖來表示在數軸上。

順便吐槽我們的數學教材，把無理數冪看成數列的極限，一點都不直觀。

可以從實數的康托爾構造來理解，如果一個有理數序列的極限不是有理數，那麼這個極限就是無理數，實數就是由一個個有理數序列的等價類組成的。