如何證明n！大於((n+1)/e)^n？

01-15

還可以利用

$left(1+frac{1}{k} ight)^k<e$ 來做

把k取遍從1到n的整數得到n個不等式，就是

$egin{align} {left( {frac{2}{1}} ight)^1} < e ,\ {left( {frac{3}{2}} ight)^2} < e ,\ cdots\ {left( { frac{n+1}{n}} ight)^n} < e , end{align}$

累乘起來，得到

$dfrac{(n+1)^n}{n!}<e^n$

所以

$n!>left(dfrac{n+1}{e}<br /> ight)^n$

$n! >(frac{n+1}{e})^n<br />$

$Leftarrow ln n! > nln (n+1)-n<br />$

$Leftarrow ln n! > int_1^nln x ext{d}x = nln n-n+1> nln (n+1)-n<br />$

$Leftarrow ln n +frac{1}{n} > ln (n+1)$

$Leftarrow frac{1}{n} > ln(1+frac{1}{n})$

最後一步顯然成立（非常常用的不等式……）

如果最後一步對你來說沒那麼顯然：

令 $f(x)=ln(1+x)-x$

顯然有

$f(0)=0$

$f$ 0" eeimg="1">

$herefore f(x)<0 forall x >0$

$herefore f(frac{1}{n})=ln(1+frac{1}{n})-frac{1}{n}<0$

作業要自己完成

這種題怎麼能不用歸納法呢！

這是我們上次模擬考試的題！！

1.首先當n=1時，不等式成立

2.假設對於n不等式成立

3.對於n+1，……留白處有點小……也成立

所以不等式得證

《吉米多維奇數學分析習題集》，只記得封面了。

捂臉……