非線性泛函分析有什麼具體直觀的理論背景嗎？

01-15

最近在看非線性泛函分析的書籍，書中是定理定義的疊加，完全不知道這些理論的來由和具體的實際背景淵源。

背景淵源就是，幾乎一切的分析學，到最後還是要用來解方程。所以答案很簡單，就是很多非常自然而困難的方程問題都是非線性的，比如Kdv，Hilbert流形上Morse理論，黎曼流形嵌入等等，很多著名的方法比如Nash-Moser反函數定理，Leray-Schauder理論，也都是為了處理方程問題誕生的。

題主可能的最主要的問題是前置課程基礎不紮實。學習非線性泛函分析，需要堅實的複分析、實變函數與泛函分析、點集拓撲、常微分方程和數學物理方程基礎，有這些基礎，不可能再問出諸如"有什麼具體的應用背景"這樣的問題。

非線性泛函分析，主要有變分學（臨界點理論）、拓撲度理論、半序Banach空間、單調運算元理論幾大塊內容。

比如，在最優控制的研究中，我們經常碰到一些複雜的運算元方程，最典型的比如隨機動態規劃中的Bellman泛函方程。如何確定最優控制問題有解，往往化歸為不動點問題。如果情況複雜，拓撲度一般作為解決此類問題的終極手段，其樸素思想來自於複分析中的環繞數。所謂拓撲方法，即證明deg(f,Ω,p)不為0來說明運算元方程解的存在性。核心方法就是構造同倫，與恆等映射聯繫起來（這樣拓撲度就是1，運算元方程有解），或者與某個已知的簡單映射聯繫起來，然後根據簡單映射的Jacobi行列式計算拓撲度。對於無窮維空間，基本思路就是先證明運算元是緊的，再想辦法將拓撲度與恆等映射緊同倫起來。

再比如，在非線性動力學問題中，研究周期軌道的存在性與穩定性，學過常微分方程的話，首先想到的是Poincare映射，即首次返回映射。研究Poincare映射的不動點，證明不動點存在等等（Brouwer笑了）。

變分學的基本思想是:描述系統的運動方程很多時候都是某個泛函的臨界點（變分駐點），將複雜的偏微分方程問題與泛函極值問題聯繫起來。需要強調的是變分學並非最優化與最優控制的分支，因為它同時還為微分方程和微分幾何（如測地線）問題提供見解。

將變分學與拓撲度結合產生的是拓撲變分，即大範圍變分法，更多學者稱其為臨界點理論（這三個叫法等價）。它將微分拓撲中的一些結論推廣到無窮維流形，這塊內容的深入討論已經超出了我的知識邊界。總的說來，臨界點理論研究泛函的水平流形及其拓撲性質，核心在Morse理論。具體可參看微分拓撲大師Milnor的有關著作。從這個角度看，現代分析學與代數拓撲和微分拓撲是緊密聯繫的。

我代數拓撲差點掛哈哈自豪ing。本人除了高等代數之外，其他的代數都沒法看。

非線性泛函分析中，要數哪個定理最為關鍵，恐怕就是Banach空間微分學中的反函數定理與隱函數定理，這兩個定理就是對夫妻，都是放在一起講的。它們是研究非線性映射的最最基礎的大定理，是非線性泛函分析和微分拓撲的基石（微分拓撲的應用領域主要是流形上的動態系統，或者說流形上的微分方程）。在應用最優控制研究微分博弈問題時，導出的高維非線性動力學方程需要降維，或者研究其分岔特性，也需要隱函數定理。具體內容研究非線性動力學的書籍一般都會有:隱函數定理、中心流形定理和L-S約化。

還有啥，哦，半序方法，單調運算元我壓根兒沒去聽。

就醬。

本書中沒有一幅圖 ——拉格朗日

不打算正面回答此問題，因為不是這個方向的，沒這個資格。

只是友情提個醒：非線性泛函分析，已經不算淺了，然而題主問出了「直觀背景」，是有些令人遺憾的。到這個程度還依賴「直觀」，恐怕是基礎還不夠紮實，抽象思維訓練的不夠。多讀各種抽象代數算是學數學的好習慣。

至於「具體」方面，個人建議多換教材，多了解相關數學史，學數學是需要「歷史代入感」的，要體會提出問題者和學科奠基人所處的大背景，才會有比較切實的體會。

解非線性常微分方程和非線性偏微分方程

來自於解方程吧，變著法的加某種緊性，以及利用空間的拓撲性質，得到了一系列的存在性定理。

非線性pde