为什么规范对称性不是对称性？

01-15

看了看http://physics.stackexchange.com/questions/13870/gauge-symmetry-is-not-a-symmetry 上面的讨论，还是不大明白。为什么说gauge symmetry不是对称性？哪位大大可以展开谈谈？

0、分享点形象直观的东东。总括说来，规范“对称性”来自于人不能区分 $|psi angle$ 与 $|Cpsi angle$ 两种态(C是某个复数)，亦即，我们仅能识别态的投影，而识别不了态本身。规范场、规范对称都是这种“投影”认知的产物。一个熟知的投影栗子就是天球。我们不妨从此出发，试想古代的星象师是如何把规范场、规范对称应用到群星的运动中的。

I、天球上的规范理论

I.1) 星座

恒星密布在天球上，结成星座，赤经赤纬刻画出它们的位置。在不知道红移、哈勃定律，并且视差法也受限于仪器不好使的情况下，星象师们并不知道星星们究竟有多远，于是：

无论是红点还是蓝点，在天球上的影像都是一柄北斗，人眼分不出它们的区别。红、蓝点之间的变换被称为“规范变换”。用式子表达出来是这样的：

记 $vec r(x_i)$ 为恒星在宇宙中的位置，其中 $x_i$ 是参数，譬如赤经、赤纬的度数。那么， $vec r^{~prime}(x_i)=U(x_i)vec r(x_i)$ 即是把红星变为蓝星的规范变换， $U(x_i)$ 为任意实函数。

现在看一下天球上恒星的运动：

运动可分解为沿天球径向与切向的： $dvec r=avec r+vec t$ 。径向的运动并不改变星星在天球上的位置，因而星象师们能观察到的只有切向的运动： $vec t=(d-a)vec r$ 。我们管 $d-a$ 叫协变导数， $a$ 嘛，就叫它规范场好了。不难求得： $a=frac{vec rcdot dvec r}{r^2}=dln r$ 。我们说过星象家们并不清楚恒星的离地距离 $r$ ，因而 $a$ 的大小也是不固定的。然而，有一点是清楚的： $dwedge a=0$ ， $a$ 是无旋的。

看过 $vec r$ 的运动后，我们看一下 $vec t$ 的运动。不难推导： $(d-a)wedge vec t=0$ 。

接着看下规范变换： $a^prime=d ln r^prime=a+dln U$ ，是不是想起了什么。另外， $vec t^{~prime}=U vec t$ ,与 $vec r$ 的变换方式相同。

现在，我们的星象师要构建恒星运动理论了。一般，这个理论表述为 $H(vec r, dvec r)=E$ , $E$ 是某个常数。然而，因为星象家只能观察到 $hat r$ 与 $vec t$ ，所以他的结论只能是 $H(hat r, vec t)=E$ ，或者 $H(vec r, dvec r, a)=E$ 。一个待定的场 $a$ 被牵扯进来，用来弥补星象师所不知道的径向的信息。视觉上，星星运动忽快忽慢，就可以理解为把能量给了 $a$ 又拿了回来。当然，我们希望这个理论对无论是蓝色的北斗还是红色的北斗都是适用的，两者运动的差别交由 $a$ 来调节便好。举例来说： $|(d-a)vec r|^2=Er^2dt^2$ 。

所以规范对称性是什么呢？红色的北斗也好，蓝色的北斗的也好，或是其它各种径向排布的北斗也好，它们的动力学是相同的。或者，它们的动力学并不相同，但我们把这些不同含混在a中，以追求形式上的相同。这就是规范对称性。

那么，红色的北斗与蓝色的北斗何时会看上去不一样呢？在远方的某颗星球上观察就行了：

原先在 $vec r$ 处的星星，在新的观察点挪到了 $vec R=vec r+vec P$ 。在规范变换 $vec r^{~prime}=Uvec r$ 下，新观察点处能观测到新天球上的滑动 $(1-U)(vec P-vec Pcdothat Rhat R)$ 。视差测距法用的就是相同的原理。因为U是任意的，我们可以把 $|vec P-vec Pcdothat Rhat R|$ 作为规范对称的序参量。在 $vec P$ 消失或 $vec P$ 、 $vec R$ 共线时，规范对称得以保全，这是对恒星而言。对于星座，后一个条件是多余的。只要 $|vec P|$ 非零，星座的样子就一定会改变。

最后看一下 $a$ 有多少个独立分量，顺带整理下遇到的空间：宇宙、天球、参数空间（经纬网）。宇宙是一个N维欧氏空间，记为 $E^N$ ，天球是一N-1维球面，记为 $S^{N-1}$ 。之前所有带箭头的矢量全部活在宇宙中，有N个分量。现实中，N=3。参数空间由n个实数组成，记为 $R^n$ 。当n=N-1时，参数网能够笼住整个天球，譬如赤经+赤纬。当n&N-1时，就有冗余的参数了。微分算符d与规范场a的分量都定义在参数空间中，有n个分量。然而， $a=dln r$ 意味着a实际只有1个独立分量，其余n-1个都应作为冗余自由度消去。

I.2) 黄道

现在来看一组特别的星座，它们无论如何运动，都映在天球的大圆上：

那一圈黄色大圆名为黄道，是黄道面在天球上的投影。通过研究黄道面，星象师们得以掌握黄道十二宫星座运动的一些共性。为图视觉上的方便，我们以黄道面的法向量来刻画黄道（在黄道面维数低于天球维数时，这样的图像是不恰当的）。

无论是拉扯，或是绕法线旋转，黄道面在天球上的投影都不会变。把这些拉扯、旋转的变换称为对黄道面的“规范变换”，黄道在规范变换下不变。数学上表达如下：

取 ${vec e_i}$ 为黄道面上线性无关向量的完备集，以它们为基，黄道面上任意一颗恒星的位置可表达为 $vec r=c^ivec e_i$ ,重复指标求和。揉搓旋转黄道面表达为基的变换： $vec e_i^{~prime}=U_i^{~j}vec e_j$ 。

看一下黄道面的运动。与之前类似，运动可分为面内与面外： $dvec e_i=a_i^{~j}vec e_j+vec t_j$ ，对任意i,j有 $vec e_icdotvec t_j=0$ 。第一项不改变黄道，只有 $vec t_i$ 才能让黄道在天球上滑动。

求 $a_i^{~j}$ ： $vec e_kcdot dvec e_i=a_i^{~j}(vec e_jcdotvec e_k)$ 。定义几个在黄道面上的矩阵： $(G_{ij})equiv(vec e_icdotvec e_j)$ ， $(gamma_{ij})equiv(dvec e_icdot vec e_j)$ ， $dG=gamma+gamma^T$ 。于是 $a_i^{~j}=gamma_{ik} (G^{-1})^{kj}$ 为一非交换的规范场。

再看 ${t_i}$ 的运动： $(d-a)wedgevec t=-fvec e$ ，其中 $fequiv dwedge a-awedge a$ ，这里把指标略去了。

在规范变换下： $a^{prime}=UaU^{-1}+dUU^{-1}$ ， $vec t^{~prime}=Uvec t$ ， $f^prime=UfU^{-1}$ ，都是些简单的关系。于是我们得到些如 $mathrm{tr} f$ ，或 $mathrm{tr}[*ff]$ 的规范不变量。

最后再理一下空间。除了宇宙、天球、参数空间外，这次多了张黄道面，维数由基的数目决定。当有N-1个基时，黄道可由法线刻画，否则只能以基刻画。在参数个数与黄道面维度相同的前提下，把不同参数下的黄道面依序衔接起来，就得到了张曲面，记作M。现实中（ $E^3$ 的宇宙， $E^2$ 的黄道面），M就是这样的一个大球：

不难察觉 $G$ 即M上的度规， $a$ 是联络， $f$ 是黎曼曲率。常有人把F称为曲率，这应该是最贴合这称呼的理解方式。于是有Gauss-Bonnet定理： $int_M mathrm{Pf}(f)=(2pi)^{n/2}chi(M)=4pi$ 也是一不变量，最后一个等号对应真实星空的情况。

嘛，直观的图像都讲完了，想阐述的点也都阐述了，答题到此为止。之后的内容只是单纯的类比，大部分内容与http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00732829 没什么区别，唯一不一样的是去掉了 $langlepsi|psi angle=1$ 的限制，这样导出的规范场会多出一个无旋的虚部。

=====无===聊===的===开===始=====

II、投影希尔伯特空间上的规范理论

几个空间作如下对应：宇宙——希尔伯特空间，天球——投影希尔伯特空间（Projective Hilbert space），参数空间——参数空间，黄道面——内空间（比如同位旋空间）。要注意的是，希尔伯特空间是无穷维的，投影希尔伯特空间比希尔伯特空间降两维（天球比宇宙少一维，其中的差别在于希空间是个复数空间），仍是无穷维的，因而有限的参数笼不住整个投影希空间。

II.1) 单态

与I.1)相似地，写出标架运动方程：

$|dpsi angle=-iA|psi angle+|T angle$ （要求 $langlepsi|T angle=0$ ）,

$|(d+iA)wedge T angle=iF|psi angle$ ，

其中 $A=frac{ilanglepsi|dpsi angle}{langlepsi|psi angle}$ ， $F=dwedge A$ 。这里不要求 $langlepsi|psi angle=1$ ，这样耗散过程也能包括进来。 $A$ 也不是厄米的， $A-A^*=idlnlanglepsi|psi angle$ ，系统无耗散时 $A$ 才厄米。与天球上的 $vec t$ 相似， $|T angle=(d+iA)|psi angle$ 与投影希空间相切，是能够被观察到的态的变化量。 $d+iA$ 是为协边导数。

规范变换下， $|psi^prime angle=U|psi angle$ ， $|T^prime angle=U|T angle$ ， $A^prime=A+idln U$ ， $F^prime=F$ 。这里不要求 $U$ 是幺正的。

II.2) 多态

由线性无关的态矢 ${|phi_i angle}$ 张出内空间（黄道面）。标架运动方程：

$|dphi_i angle=-iA_i^{~j}|phi_j angle+|T_i angle$ ，

$|(delta_i^jd+iA_i^{~j})wedge T_j angle=iF_i^{~j}|phi_j angle$ 。

定义 $(G_{ij})equiv(langlephi_j|phi_i angle)$ ， $(gamma_{ij})equiv(langlephi_j|dphi_i angle)$ ， $dG=gamma^dagger+gamma$ ，则 $A=igamma G^{-1}$ 。 $F=dwedge A+iAwedge A$ 。内空间投影的改变全赖 $|T_i angle$ 。

规范变换下， $|psi^prime angle=U|psi angle$ ， $|T^prime angle=U|T angle$ ， $A^prime=UAU^{-1}+idUU^{-1}$ ， $F^prime=UFU^{-1}$

接下来就要用参数网认真丈量下投影希空间（的子部）了。

III、参数化

III.1) 单参数

就把时间取成唯一的参数好了： $|psi angle=|psi(t) angle$ 。

1-形式的 $|T angle=| au angle dt$ 。

态的运动： $|dot psi angle=-iA|psi angle+| au angle$ ， $A=frac{ilanglepsi|dotpsi angle}{langlepsi|psi angle}$ 。

把薛定谔方程考虑进来： $|dotpsi angle=-iH|psi angle$ ， $A=langle E angle$ 。

如果要求波函数归一化： $langlepsi|psi angle=1$ ，投影希空间就是个无穷维的单位球， $ds^2=Delta E^2dt^2$ 。

从 $t_1$ 到 $t_2$ 态在天球上划过的径迹长： $Delta s=int_{t_1}^{t_2}Delta Edt=overline{Delta E}Delta tgeqcos^{-1}langlepsi_1|psi_2 angle$ 。后者是天球上的大圆弧长，由1至2的最短距离。这就是能量与时间的关系是什么？ - 才不是笨蛋的回答里提到的式子。

III.2) 多参数

取这么个栗子吧： $|psi angle=Psi^+(x^mu)|0 angle$ ，在 $x^mu$ 处放一枚粒子的状态。

区分一下表象与参数。诚然作为参数， $Psi^+$ 里的 $x^mu$ 可以是诸如外磁场之类的物理量，但即便作为位置，也与位置表象中的位置是不同的。放张图：

在这幅有名的STM扫描图中，那些排成圈的原子的位置 ${vec x_i}$ 就是参数，而位置表象的意思是波函数以位置为自变量。

回来。 $|T angle=| au_mu angle dx^mu$ 。 $|partial_mupsi angle=-iA_mu|psi angle+| au_mu angle$ 。 $A_mu=frac{ilangle0|Psipartial_muPsi^+|0 angle+ilangle0|PsiPsi^+|partial_mu0 angle}{langle 0|PsiPsi^+|0 angle}$ 。

$A$ 的头一项表达成格林函数是 $ipartial_mu^{~prime}ln G(x,x^prime)|_{x^prime o x}$ ，在各项同性的平衡系统中， $G(x,x^prime)=G(|x-x^prime|)$ ，这一项的结果是0。第二项取决于 $|0 angle$ 的结构。譬如 $|0 angle=e^{i heta}|Omega angle$ ，那第二项就是 $-partial_mu heta$ ，通过一个规范变换便可消去。再譬如 $|0 angle=sum_n e^{in heta}|Omega_n angle$ ，那此项的贡献就不是轻易可以消去的了。

测地

定义 $g_{mu u}equivlangle au_mu| au_ u angle=langlepartial_mupsi|partial_ upsi angle-A^ast_mu A_ ulanglepsi|psi angle$ 。 $g$ 即被参数网笼住的那部分投影希空间的度规，人称Fubini-Study度规。显然g是幺正的： $g_{mu u}=g^ast_{ umu}$ ，且 $g_{mu u}-g_{ umu}=2iIm g_{mu u}=-2iF_{mu u}langlepsi|psi angle$ 。

标架运动

$|partial_mu au_ u angle=b_{mu u}|psi angle+Gamma^eta_{mu u}| au_eta angle+|n_{mu u} angle$ 。

$|n_{mu u} angle$ 是与 $|psi angle$ 、 ${| au_mu angle}$ 都正交的态，原本也在投影希空间中。它之所以出现，是参数网笼不住整个投影空间的缘故。由II.1)第二式不难推得 $|n_{mu u} angle=|n_{ umu} angle$ 。

$b_{mu u}=-g_{mu u}langlepsi|psi angle^{-1}$ ，这是半径为 $langlepsi|psi angle$ 的球面的特性。

因为方程不足，很遗憾不能将 $Gamma$ 完全以 $g$ 表达出来，只能写下它的实部： $ReGamma_{sigmamu u}=Re A_{sigmamu u}+Im A_sigma Re g_{mu u}+Re A_mu F_{ usigma}langlepsi|psi angle-Im A_ u Re g_{sigmamu}$ ， $A_{sigmamu u}equiv frac 1 2 (partial_mu g_{sigma u}+partial_{ u}g_{sigmamu}-partial_sigma g_{mu u})$ 。

之后也可以写出相应的Gauss-Codazzi方程，不过没什么有意思的，因为。。。。。。。

投影希空间的几何超简单的，它真真是个球啊

=====无===聊===的===结===束=====

0、一开始关注这些内容，是因为想看看这个量： $mathrm{Tr}exp(iint_MF)$ 有没有什么好的几何诠释。此妖面目极多。当 $Msubset E^3$ ，且内空间是1维时，它就是有名的AB效应中的相位。当M含于闵氏空间是，它被叫作Wilson loop，当 $Msubset S^1 imes E^3$ 时，它叫polyakov loop，是禁闭-褪禁闭的序参量。从它出发，能得到些禁闭时有意思的性质，比如大Nc冻结，比如禁闭中的夸克其实是anyon：http://arxiv.org/pdf/hep-ph/9512323.pdf。因为长相酷似与Gauss-Bonnet定理有些联系，本来还期待禁闭是不是在几何上对应着某些奇怪的形状，然而好像并没有。

既然从星空开始那么就以星空结束吧

你在一个桌子上做实验，把桌子转一下，实验结果不变，这叫对称性，系统的旋转对称性。规范对称大致是说你可以用中文，用英文，用法语描述你的实验，实验结果当然不变，因为你描述的根本就是同一个系统。当一个系统有不同的“描述”的时候，我们说这叫系统多余的自由度。

再深入点说，只有小规范变换(small gauge transformation)是系统的多余自由度，大规范变换(large gauge transformation)是真的对称性。注：小规范变换是指在空间无穷远处规范变换退化成identity。这一点在八九十年代人们讨论磁单极解的时候被发现很重要。最近两三年Strominger等一干人发起的“软毛”研究系列又把大规范变换对应的对称性推到了研究的热点。

因为规范等价的两个态，在实验上没有任何办法可以区分，所以它实际上是条“车库里的龙”。

修改:以下回答请与评论区贾抑扬的意见同时观看，我就不直接改答案了。谢谢！

说规范对称性是对称性，因为规范变换不改变作用量；说它不是真正的对称性，因为规范变换不改变可观测量。

作为对比的例子，global symmetry transformation不改变作用量但改变可观测量。

让我们从内禀空间的操作跳出来吧——

从课本上最早听到的“规范变换”应该是 $A o A+mathrm{d}f$ 下， $F=mathrm{d}A$ 不变

实际上它是 $A o UAU^{-1}+Umathrm{d}U^{-1}$ 下 $F=mathrm{d}A+Awedge A$ 不变的Abelian特例.

现在把代数 $A$ 的群代换成(局域)洛伦兹群(自旋1的表示)，就有 $Gamma o LambdaGammaLambda^{-1}+Lambdamathrm{d}Lambda^{-1}$ ，这便是克氏符的变换,这时黎曼曲率 $R=mathrm{d}Gamma+GammawedgeGamma$ 不变。克氏符的变换的物理意义就是换个坐标覆盖。（什么内禀空间也有坐标覆盖的啊，你要愿意整个bundle都能放坐标系

当然啦，换个坐标覆盖包括global的操作——把坐标系整个平移一哈/转动一哈/拉伸一哈这样...只不过global的操作下 $Lambda mathrm{d} Lambda^{-1}$ 就丢掉了——从这个角度而言，对称性只是规范对称性的一种啊

白马是马

马非白马

p.s.

诺特定理从每个对称性都给出一个守恒的量(dim=1)

规范对称性自然就暗示一整个哗啦啦的场(dim= $infty$ )

所谓的定域规范对称性应该更恰当的表述为一种规范协变性，是一种从广义相对论里的要求物理定律具有广义协变性的一种推广，所以定域的规范对称性就是物理可观察量在波函数内部空间的广义协变性，也就是说物理量的算符在波函数定域的转动时必须是协变的。

那么为什么说定域规范对称性不是一种对称性呢？想想广义相对论也是一种定域洛仑兹不变的规范理论只不过是定义在时空流形的切空间上的，物理量都是张量，但却没人把这种叫做对称性，只叫做张量的协变性。

所以定域规范对称只是物理学家一开始没弄懂这也是一种协变性而已，因为波函数内部空间也可以是弯曲的。

抛个砖：

1.规范不变性的起因是我们描述物理对象时的信息陈余，如考虑点粒子的Nambu-Goto描述(带根号的那个作用量)具有变换参数的不变性。

2.规范不变性会阻碍初值问题解的唯一性，如上面举的例子里，给定点粒子的初始位置和初始速度，有无穷多的解，因为有无穷多的参数变换能保持这两个初值。

3.规范不变性往往会导致哈密顿量为零。还是这个例子，参数平移对应的守恒量为零。(事实上所有参数变换对应的守恒量都为零)如果这个系统的背景时空有一个类时的Killing场，我们把它对应的守恒量称作能量。

处理一个规范系统的时候，通常可以在固定一个规范后，找到一个新的作用量(Polyakov)，这个作用量的稳定解满足唯一性，并且有非零的哈密顿量。

终于看到一个可以回答的物理问题了。

那个匿名用户回答的正确，规范自由度实际上是对物理系统冗余的信息。我们说一个物理系统有某种对称性是指动力学对称性，也就是说如果把初态和末态都经过一个对称变换，S矩阵元不变（当然，也有概率不变的定义，不过目前我们取这种狭义的定义。Pauli证明，对称变换要么是幺正的，要么是反幺正的，分别对应S矩阵不变和S矩阵取共轭。）也就是：

&=&.

要求|i&>和|i"&>是不同的物理态。

规范对称性是拉氏量的对称性，而不是系统的对称性。不存在规范变换所对应的物理态的变换。当然，在某些比较高级的量子场论方法中（比如BRST量子化），定义了一些非物理的态，这就另说了。不过这些新的态仅仅是一种数学方法，原则上完全可以只使用物理态进行计算。（当然，非Abelian的情况非常复杂，但似乎并不是不可以的，据说20世纪70年代的时候某些苏联人成功尝试过，但因为方法过于复杂和不实用，也没有什么太大意义，被大家遗忘了，现在连这方面的文献都很难找（甚至都不知道有没有英文文献，反正没人care），目前大家普遍使用Faddeev-Popov路径积分量子化，这就需要引入非物理的鬼场态。）

既然仅仅是拉氏量的对称性，实际上如果我们不用场论的计算方法来计算散射振幅，规范对称性就是多余的。目前这个研究领域被叫做Theory of Scattering Amplitudes. 直接从狭义相对论、幺正性和理论的局域性出发来重构目前的粒子物理，已经取得了很大进展。在这种方法中，就不需要用到拉氏量，也就不用去管规范对称性了。

既然规范对称性是冗余的信息，那么非冗余的信息是什么？实际上，对我们来说，重要的就是粒子的自旋、质量和其他的量子数（比如电荷）等信息。我们可以完全不需要拉氏量，只需要出入射粒子的螺旋度，来计算无质量粒子的散射振幅。（很遗憾，目前散射振幅理论取得比较大进展的是无质量粒子的散射振幅理论。）

Weinberg的量子场论书说明了，如果知道一个粒子是无质量、螺旋度为1的，那么就可以推出它一定是规范场（即其拉氏量满足规范对称性），这也说明了规范对称性这个信息是冗余的。

另外，用规范对称性推出的许多结论，比如电荷守恒、引力子coupling的普适性（就是Einstein等价原理）都可以用狭义相对论+量子力学+传递该相互作用粒子的螺旋度（helicity）推出。（具体方法是考虑散射过程的soft factor，Weinberg上世纪60年代有讨论过这个的文章。）下面这个观点可能会震惊很多人：如果我们假定存在无质量、自旋为2的粒子，那么就可以根据狭义相对论和量子力学推出广义相对论, 不需要Equivalence Principle（也是一种规范原理）。(参见Nima Arkani-Hamed的lecture：Robustness of GR. Attempts to modify Einstein Gravity: https://video.ias.edu/pitp-2011-arkani-hamed1)

因此，完全可以抛弃规范对称性原理来重构粒子物理。规范原理是很漂亮，但它不是物理系统本身的对称性，也不是必须的。

理解这个问题有很多种方法，我从经典场论的角度来简单说说（我会省略很多technical detail，而只说说中间的思想）。这是我最近在看的东西。（参考文献是Wald 的广相）

考虑Maxwell方程(以矢量势A）作为变量。Maxwell方程是关于A_mu的二阶微分方程。你会发现

1）A_0是没有动力演化的。也就是说，Maxwell方程里是不含ddot{A}_0这一项的. 从拉格朗日力学（哈密顿力学）来理解，A_0 的共轭动量是零。所有这些都是在说，A_0这个场不是dynamical的。

2）关于A_i。你会发现，Maxwell方程对于初始A_i的演化不是唯一的。（That is, Maxwell equation doesn"t form a Cauchy problem for A_i）也就是说，在初始时刻，你选取的A_i(相当于理论力学里的初始位置)和dot{A}_i(相当于初始速度），但是在Maxwell方程的演化下，之后时刻的A_i不是唯一确定的！--- 注意，这个跟我们熟悉的理论力学的情况很不一样。

这你说咋整啊？难道我们就说Maxwell方程没用了吗？慢着，我们可以这么做：定义一个等价组，A_i~A_i+pd_i lambda， for all real function lambda.

(稍微解释一下，不熟悉等价组的人可以从

“实轴”和“圈S^1”的关系去理解，通过定义等价组，要求x~x+2pi, 可以从实轴得到圈).

上面这的方程实际上就是所谓的规范变换。它真正的意思是，认为如果某个A_i和 A_i‘是能通过规范变化联系起来的，那他们是同一个物理态。这样的话，可以证明，我们上面说的Maxwell方程演化不唯一的问题就解决了。

Here is the take-home message:

Maxwell方程演化不唯一。要是想要Maxwell方程仍然是合理的柯西问题，我们必须定义等价组。所以说规范变换事实上是一个等价关系，能通过规范变换联系起来的场是同一个物理态！这是跟通常的对称性不一样的。对称说的是有两个不同的态，但是我们通过测量可观测量(如能量)发现两者是一样的。

（比如一个无良房产商在各个方向都暗无天日的地方（各项同性）的地方造了房子，朝南的房子跟朝北的房子一样的价钱。但是朝南和朝北是毕竟是两种不同的房子。）

但规范是针对同一个态（等价关系）。

这个问题，其实没有那么复杂，几句话就能说明白：

根据诺特定理，一种对称性必然对应一个守恒流，而守恒流必然对应相应的守恒荷，守恒荷是物理可观测量。（历史上是反过来的，先发现物理可观测量，再去找守恒流，进而发现拉格朗日体系，然后发现背后的机制是对称性）。也就是说，对称性是用来“定义”物理可观测量的。而与规范（gauge）相对应的两组场量对应的是一组物理可观测量，并没有因为所取的规范不同而产生新的物理量，所以规范肯定不是对称性。

再额外多说几句，引入规范的目的恰恰是为了消除矢量场多余的“非物理自由度”，而矢量场的物理自由度是由实验观测决定的，所以规范对称性与所取的规范无关，而理论遵循何种对称性也是由实验决定的。这里面叫“规范”的原因是它作用的场量是“规范场”，而“规范场”按我的理解应该是“去除多余非物理部分规范过的矢量场”，而物理可观测量与所取规范无关。

而无论是“规范”还是“对称性”，引入它们，决定它们的还是物理实验，学物理切记空想或过于理论，而物理实验归根到底都是对物理可观测量的测量。

----更新内容----

提主更新了提问，原来他问的是规范对称性是否是“真实”的对称性。我详细看了stackexchange页面上的回答，摘录几个人的回答要点：

1、at the classical level, there is no difference between gauge symmetry and "real" symmetries.

2、You need to distinguish between forces and fields/degrees of freedom. Forces
are, at best, an illusion anyway. Degrees of freedom really matter however.

3、The (big) difference between a gauge theory and a theory with only rigid symmetry is precisely expressed by the Noether first and second theorems.

4、In quantum systems, gauge symmetry is not a symmetry, in the sense that the
gauge transformation does not change any quantum state and is a do-nothing
transformation.

5、Electric charge is conserved because of a true global symmetry.

6、 It is not true that different gauged $A_{mu}$ will have different effects. The
base effect is the fact that different paths enclose different amounts of B
which is entirely gauge independent.

看来我对这个问题的认知之前是naive了。里面的回答比较复杂和深刻，但归总起来有以下几点：

1、在On-Shell的经典理论下，“真实对称”和“规范对称”的说法是等效的，因为他们都对应一样的运动方程，但在量子框架下，“规范对称”的作用只是引入了更多非物理的中间自由度便于计算而已，规范变换实际上不改变任何”物理的“量子态，因此没有任何物理效应。“规范相互作用”并非是物理实质，物理实质是自由度（或粒子）。

2、A-B效应并非说明矢量场 $A_{mu}$ 是物理的，而是指 $A_{mu}$ 对封闭环路的积分是物理的，而这个积分与规范变换无关。

3、电荷守恒与任何规范对称性无关，因为它是一个真实的全域对称性。

当然如果按他们的讲法进一步推下去，如果规范对称性不是对称性，相当于认为在标准模型里，“弱电相互作用”和“强相互作用”的提法实际上都是不准确的，且矢量场 $A_{mu}$ 、 $Z_{mu}$ 、 $W^{pm}_{mu}$ 、 $G_{mu}^i$ 等场量都是非物理的，因为这些都是“规范相互作用”。当然这些场量对应的自由度或“粒子”是存在的，只是它们可以用其它非规范的形式表达。而t"hooft的“In fact, all physical states are formally invariant under local gauge transformations.”这句话，其实也是主要针对矢量场，他认为我上面所述的这些场也是“非物理”的。

以上都是他人观点，我虽然通过这个问题学了很多知识，但我本人并不大同意以上的观点，只是为了批驳必须先详细了解别人说了什么。理由如下：

首先，如果非得纠结“物理态“这个概念，那么严格按“物理实在”定义，在量子场论的框架下，一切“场量”都是非物理的，因为我们无法直接观测到这些。这些所谓“场”及"真实对称性"，都是我们为了描述经典观测引入的数学定义而已，我们实验上所知道的只有物理可观测量，包括物理自由度、个数、能动量、位置这些。甚至连“电荷”和"量子数"都是非物理的因为他们是间接观测。为什么这么说？你怎么定义物体“带电”？实验上同性相斥，异性相吸，或在磁场中偏转。那怎么定义相斥、相吸、偏转？不过是观测物体和粒子的运动而已。经典的运动方程（比如Maxwell方程组）并非最后的“物理实在”，因为从运动方程到直接的物理可观测量还有一步要走。从这个意义上说，规范对称性与其它对称性并没有什么本质的区别，与On-Shell（经典）、Off-Shell（量子）的关系也不大。

其次，大家对于规范对称性的纠结，主要在于矢量场的多余自由度，以及描述所谓”相同物理过程“（比如运动方程、路径积分等），矢量场选择的非唯一性和可替代性，甚至是规范对称性选取的非唯一性，而且这在量子场论里引来了很多其它问题，BRST、不同规范选取、anomaly、ghost场等等。但这是个比较可笑的事情：四分量场 $A_{mu}$ 取了个规范，然后运动方程约束下，U(1)局域对称性是”物理“的”真实对称性“，On-Shell的光子有两个自由度，电磁相互作用也是一种”force“；然后光子Off-Shell了（量子化），没有运动方程约束了，这个U(1)就不是”对称性“了，电磁相互作用也不能叫”force“了， $A_{mu}$ 也不是”物理量“了，我们所要关注的是光子自由度就行了，然后我们可以把规范相互作用去掉，变成非常复杂的其它数学描述，什么string-net theory啊等等，在另外的数学描述里没有规范对称性，也没有矢量场，但我们却能很好描述光子所有行为，但是因为这些理论太复杂了，一般人学不会。这特么不在玩文字游戏么。你凭什么说，非唯一的含物理自由度和冗余自由度的场量不是”物理“的？谁规定场量必须要”唯一“？谁规定对称性必须要对应一致的“物理态”？那什么是物理？搞一套大家都不能理解的数学就是物理？物理理论的精髓在于简洁，在于有一副直观的物理图像，以能解释实验的行为，我承认规范对称性从严格的抠字眼的数学意义上讲也许并非真正的”对称性“，没有规范对称性，也许我们可以用另外的语言描述规范理论，但如果你要定义一个真正的严格意义上的”物理场“，这个的边际成本并非是最低的。

最后，关于任何理论都可以随便加”规范对称性“的问题。这恰恰是这个问题的初衷。物理是实验的科学，为什么标准模型被描述成 $SU(3)_cotimes SU(2)_L otimes U(1)$ 的规范理论？是因为我们实验观测就是如此。也许从更高能标看，理论并不是如此，目前也有很多形形色色的规范理论描述高能标的物理但没有被实验证实。这的确是目前我们实验的极限，而非认知的极限。在这个框架下，随着实验的进步，我们可以对理论进行很好地扩展，而不用考虑更多其它的问题。换句话说规范对称性的描述是”实用“的。当然那些对规范理论本质的讨论是有益的，这可以使我们更好地去理解规范相互作用的实质，但并非是有效的，因为经过多年的积累大家都有了一条”经验道路”。而如果连路都不会走的新手就要考虑飞的问题是不现实的，这也是我认为新手或科普人员刚摸到QFT的门却要先考虑诸如规范对称性是否是真正的对称性此类问题不是很合适的理由。

-----更新结束，为了一个0赞的回答花这么多时间我也真是醉了。。。

以上，欢迎拍砖。

我们要区分两个概念：“物理实在"和“对物理实在的描述”。“火星撞地球”是“物理实在”，“速度（3,2,2)的火星在原点撞上速度（0，0，0）的地球”是“对物理实在的描述”（在地球参考系里）。后者不仅包含前者的所有信息，还有冗余信息（比如既然地球、火星的地位是对等的，为什么一个在原点一个不在？）

一般而言的对称性，是“物理实在”的性质（所以也是“对物理实在的描述”的性质），比如“现在的系统和两秒后的是一样的”；而规范对称性是纯粹的“对物理实在的描述”的性质，不是“物理实在”的性质。比如“拿地球当原点和拿火星当原点等价”就是规范对称性，但“物理实在”里并没有原点这个东西啊，这是你人为强加给系统的东西啊，等价了又能怎么样呢？和系统本身有什么关系呢？

所以，最接近规范对称性的两个词叫“自嗨”和“然并卵”。

经过很久很久的思考，得到的结论：

1.规范对称性是不是对称性，这是个很诡异的问题。

对称性的概念就是一种操作不改变物理系统，规范对称性为何不满足这一定义？

而通常所谓规范对称性是一种冗余描述，是暗示了相位没有物理意义，不同相位实际上对应了同一物理系统，相位差才有物理意义，或者说暗示了规范对称性“不可能被破缺”。

因为不可能被破缺，所以规范变换前后的物理差别永远不可能被观测到，它不对应不同系统，而是对应同一物理系统的不同描述方式，因此它不是对称性。

然而反过来，如果规范对称性可以被破缺，那就必须是对称性而不是冗余描述了！

2.规范对称性可不可以破缺？

按照某些人的观点，规范对称性是不可以破缺的：因为你可以通过对场重定义，将场的纵向分量剥离出来，变成一个新的自由度，而剩下两个自由度则依然构成一个规范场。这个模型就是非线性西格玛模型。（类似于没有higgs的higgs机制，以下就用higgs机制代替）

但是咱们反过来说，higgs机制中，在规范玻色子吃掉goldstone场的时候，不就是通过一个规范变换吗？规定了某一相位，难道不就是破坏了规范对称性么？

我觉得说规范对称性不可破缺，是一种比较强迫症的看法，由于规范对称性比较独特，它是一种无穷维的对称性，它的破缺效应也会比较独特，有的人没想清楚，觉得不适应而已。

3.规范对称性有没有对应的守恒量？

当然是有的！说没有守恒量的回去看看诺特定理自己抽自己。

记住，规范对称性是个无穷维的对称性，所以它的守恒量自然有无穷多个，那到底是什么呢？其实就是规范场的纵向分量，或者说未被吃掉的goldstone场。

场作为一个无穷维的矩阵，表征无穷个守恒量再合适不过了。另外规范对称性禁戒掉纵向极化的原因，实际上就是它让纵向极化变成守恒量了，既然守恒，就不是一个自由度了。

当规范对称性破缺的时候，纵向分量自然而然的出现了，这是因为没有规范对称性保护它了。

以上全是自己瞎想的，估计会被现存几乎所有教材和文献打脸，估计不太对。

欢迎讨论。

没有对应的守恒流。

本质上，规范对称性是来自于我们描述物理的数学本身有冗余，我们使用的是信息有冗余的数学结构，我们在将拉氏系统拓展到哈密顿系统的时候没有考虑到约束条件。所以系统具有规范对称性只是我们在数学上没有做到位造成的，而非物理系统真的存在这个对称性。

根据BRST量子化对一个physical state作gauge transformation并不改变这个state（仍然在这个state的cohomology class里）所以不是真的对称性（physical state在transform会下会改变）