為什麼Fibonacci數列相鄰兩項之比會趨於0.618？

01-15

對函數 $frac{1}{1+x}$ 進行迭代，當x取1時迭代很多次後發現結果趨近於0.618，這個迭代式和黃金比例之間有沒有幾何上的聯繫？

不是巧合，首先令x=1/(1+x)，可以發現不動點恰為黃金比例，再注意到[1/(1+x)]"=-1/(1+x)^2 在R+上絕對值恆小於1，由局部壓縮映像原理，x=1/(1+x)的迭代結果就是其不動點。

假設 $a_n=frac{1}{a_{n-1}+1}$ 是一個收斂級數，那麼當 $n ightarrow infty$ 時， $a_n ightarrow p$ ，且 $a_{n-1} ightarrow p$ 。

令 $p=frac{1}{p+1}$ 可求得 $p=frac{sqrt{5}-1}{2}approx 0.618$ （取正值）。

收斂性證明

易證：

當 $a_{n-2}<P>時，有<img src=$ ，且有 $a_{n-2}，</P>當<img src=$ 時，有 $a_{n-1}<P>，且有<img src=$ ， $a_2=frac{1}{2}$ ， $a_3=frac{2}{3}$ 歸納得證。

為什麼Fibonacci數列相鄰兩項之比會趨於0.618？By Matrix67

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