遞推公式中含有項數的數列極限問題？

01-15

已知遞推數列(an+1)=(an)+(an)^2/n^2，由放縮方法易證當a1取值在某個範圍內時該數列有界從而有極限。但這個極限該怎麼求？容易得出該數列是初值依賴的，那麼使該數列存在極限的a1的確切範圍又如何？(其實就是問如何研究這個數列的極限)

這個是著名的G?bel數列的和數列...

$a_n in mathbb R$ , 易得 $a_1 in (-2,1)$

令 $0</P><P><img src=$

那麼對於 $k>n$ 有

$egin{aligned} frac{1}{a_k}-frac{1}{a_n} =sum_{i=k}^{n-1}left(frac{1}{a_{i}}-frac{1}{a_{i+1}} ight)\ <sum_{i=k}^{n-1}left(frac{1}{i-1}-frac{1}{i} ight)\ =frac{1}{k-1}-frac{1}{n-1}\ <frac{1}{k-1} end{aligned}$

$frac{1}{a_n}>frac{1}{a_k}-frac{1}{k-1}>0$ 收斂...

$(-2,0)$ 的話差不多的...不寫了

比較麻煩的是 $a_ninmathbb {C}$

代碼跑出來發現居然同構於 $mathbb J(0.25,0)$ ,這就非常令人意外了...

an={#[[1]]+1,#[[2]]+(#[[2]]/#[[1]])^2}; findlim[a_,b_]:=Block[{ans,IMax=1000},ans=NestWhile[an,{1,N[a+b I]},Abs[#[[2]]]&<10000,1,IMax]; (*If[ans[[1]]&


 
10X解析度重新跑了一遍...
也就是說:
 的極限集經過變換  就是  的極限集?
well...謎...真是謎...文獻都查不到...

 

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