從泛函分析入手作為數學系的學習路徑是否可行？

01-15

這個問題我覺得其實還是挺蠢的，但是實在是覺得有意思，所以想要徵集一下各位的意見。問題的緣起是正好複習數分在看Rudin的數學分析原理，順帶看著柯爾莫戈洛夫的函數論與泛函分析初步，總體來看兩者對於分析學的處理是比較相似的，從集、拓撲開始入手。而泛函分析又是更一般的函數，包含了代數與分析兩個方面。那麼從泛函分析開始入手學習分析而將實分析、數學分析做為其特例是否可行呢？
當然我都刷過一次，只是覺得這個角度比較清奇，一步一個腳印的觀點我非常贊同，但偶爾換個角度來看，覺得也挺有意思的。

謝邀：實際上對於初學者不可行，「泛函分析」的優點在於它廣泛，它的缺點也是這個。我非常不推薦沒學過實分析和數學分析的人直接學習「泛函分析」。原因在於下面幾點：

第一，這個學習過程會「非常痛苦」，普通人擅長的是推廣，也就是說從幾個實例出發，找出一般化的結論，這樣學習可以非常好的「理解定理」。反過來學習往往很難，你沒有一個具體的例子去把握抽象的定理，於是你只能「硬記」，這種硬記的結果就是學完之後很快忘記，而且有一種好像學了很多卻什麼都沒學到，以我觀察，大部分泛函分析沒學好的人都是因為沒有掌握好足夠多的「例子」。

第二，「泛函分析」的知識不能完全「覆蓋」數學分析和「實分析」的知識，這句話怎麼說。的確，泛函分析裡面也有微分（F-導數, G-導數）也有Talyor公式。但是你要知道的是，它沒有「中值定理」。中止定理只在一維成立，這個東西很多人都容易錯。 banach空間上的Taylor公式最「優美」的證明方法也是用一維的Taylor公式證明的。所謂「實分析」很大一部分內容是測度論，這是非常「獨立於」泛函分析知識以外的知識。你就算學了泛函分析還得學一些測度論的東西。實分析裡面的微分定理和fubini定理也和泛函的主幹沒啥關係。比如你要證明 $L^p(Omega)$ 是一個完備空間，你還得用一些實分析的知識，而不是純泛函的知識。既然如此，為什麼不先學完實分析呢？

第三，沒有鋪墊，你會搞不清楚泛函分析的motivation，作者怎麼想到的這個定理？很多泛函分析的定理是數學分析、高等代數和實分析的「推廣」。如果你學過那些東西，你一眼就能看出來。

我比較認同像rudin那樣從「泛函的觀點」來寫數學分析和實分析，但是不太同意直接干泛函。那基本會陣亡。

我個人認為泛函分析是一個「架子」，有了它你可以把很多東西「組織在一起」而不至於散架，我推薦學完泛函分析的人回頭看看實分析和數學分析，這樣可以組織起自己的知識體系，但是我壓根不推薦沒學過實分析和數學分析的人去學泛函分析。還有，學泛函分析的人應該學一些「調和分析」：極大函數、插入空間、奇異積分運算元和震蕩積分，學好這些你在使用「泛函分析的知識」的時候才會得心應手。比如，你看見一個問題，你抽象出了一個運算元和一個空間，好像只要能用開映射定理，你就證明完畢了，你躊躇滿志，於是第一步你需要證明這個運算元是連續的

（比如形如

$T u=int K(x,y)u(y)dy$ ）

是一個有界運算元，但是你懵逼了，因為你壓根不會算。你不知道schur『s test，更不知道什麼是Calderon Zygmund 估計。泛函分析功底再好的人也只是內功好而已，需要學招式和技巧的，否則問題都做不出來。如果你關注了我的專欄，我裡面舉例了很多泛函分析的應用，但是每個應用裡面需要很多「泛函分析以外」的知識，你不可能光靠「抽象」框架就解決問題，無論如何你都需要實錘。

不只是題主說的泛函和分析，我一直覺得，並且很多教過我的老師也都這樣告誡過我，一上來初學的時候就只去追求那種過於『抽象』、『一般』的理論是沒有根基的。這樣的學習過程在有的時候反而會更加輕鬆，因為少了很多『繁雜惱人』的細節，而且自我感覺也學到了很多很漂亮的數學，但是這樣做有很大概率會缺乏實質，變成所謂的『名詞黨』。就像Benson Farb在How to do Mathematics里說的：

那是在1989年，我開始讀Milnor的書《示性類》，於是我坐在河邊，坐在瀑布邊，去讀Milnor的書，這裡很美，很乾凈，到了最後，我學到了很多奇妙的東西——比如從流形的曲率張量構造陳類，「我學到了不可思議的美麗和精妙的數學」，但是，突然，我想到，最簡單的例子，環面吧，它的示性類，它的stiefel–whitney類是什麼？（「我不知道！」），我才意識到我做不了任何事，我啥也不懂。Milnor的書很乾凈，很漂亮，但是我啥也沒寫下來，我以為我什麼都知道了，但我什麼都不知道。我只知道名詞，我只能把它們說出來。我會吹牛，在講台上大講一通，但是，我什麼也做不了。

而且，更關鍵的是，學習數學是為了要『用』它，不管是做純粹的數學研究，還是用數學去解決各種各樣的其他領域的問題。你會碰到的問題基本上都不是那種套幾個理論，用幾個定理都能解決的。就像 @dhchen 說的：

你不可能光靠「抽象」框架就解決問題，無論如何你都需要實錘。

就比如我從去年開始看的那幾篇paper，那幾個人就用contact form，geodesic flow之類的東西在homogeneous bundle上完全不涉及具體表達式的定義了一堆東西，看著形式上好簡單好簡單，而且整個邏輯上和我想做的東西完全的match。結果看完了具體做的時候才發現，根本不是那麼回事。最後實在忍不住，給那人寫了封信問了問，然後人家回信告訴我： you can express this in coordinates and see whether you would see some relationship。

完全贊同 @dhchen 的觀點

然後我作為一個實證例子講一下

我上過的數學課按時間排列是這樣的：高數c(本1)——泛函（研1）——實分析/測度/pde(研2)

然後就是十分痛苦了，我們用的教材是吉田耕作他徒弟的書，風格和吉田一樣特別簡約。雖然一開始也講了下B,H空間但是因為我那個時候連epsilon-delta都不知道根本跟不上，必須回頭自己看懂這些東西(這門課是數學系3年級的課，所以講的不深，先講完備空間然後連續運算元傅里葉里斯定理，到緊運算元就結束了）

老師在作業題里雖然也有"測度論を受講していない人も、そんなに神経質にならなくてよい。積分を考える舞台設定が與えられているぐらいに考えればよい"(沒學過測度的人也別怕到神經質，把這些單純當積分思考就好了)這種「沒學過測度」的假設，但我感覺純粹是安慰人，反正剛開始每次作業下來我都是C然後跑他辦公室問

然後到傅里葉分析的時候更是純蒙b————我一個文科生，根本不理解傅里葉轉換到底幹啥子的啊，這塊證明基本靠背，完全沒理解；相比之下後面里斯定理之類都好多了

最後緊運算元的部分因為沒有經過訓練所以也很難理解什麼叫緊，只能憑直覺——當然後來補上功課再回頭看就知道直覺這東西多不靠譜了

總之就像@dhchen說的，學完就忘，因為沒理解——我是後來研2上pde（很幸運，這2門課是同一個老師）的時候才真正弄懂泛函這玩意，還僅限於我知道的那幾個方程式

當然因為受過這種地獄折磨(每天臨晨3，4點寫完作業睡覺，一次課要圖書館借4，5本書互相對照閱讀)，後面再上其他數學就輕鬆多了；或者說，經過這麼一次教訓，我基本就具備數學自學能力了，要是按部就班地學可能要過很久才懂得自學這事。這可能是唯一好處，不過明顯得不償失

1、泛函分析分為兩部分，基礎部分偏向於分析型，高階部分偏向於代數型（譜理論，Banach代數等等）。

2、本科數學學習方面，代數領域不敢斷言，但就分析領域而言：可以說，數學系90%的人不適合從「抽象-例子」的學習方式。

3、我一直覺得「例子-抽象」是最適合大多數本科生的學習和認知方式。逆過來的話，名詞黨可能都未必是最糟糕結果。

4、為何我國本科教學分析強，代數弱？除了歷史原因外，我想一個重要原因是分析特別容易從栗子上手，而不需要過多的抽象概念。

一個好的老師我認為在教泛函的時候應該能說出中間那段話。承上啟下，有motivation 又有類比。

這直接的意思就是沒有分析基礎自然就不知道了

泛函分析不適用於初學者入手

經典的教學程序是有它存在的意義的。從目前主流的教學模式來說，calculus-real analysis-complex analysis是比較主流的，其中可在任意時段夾雜numerical analysis和functional analysis，但上述主線是不可以摒棄的。

而另一種新型的教學模式，也是廣受眾常青藤名校青睞的方式，是calculus（包含vector calculus）- complex analysis-analysis的過程，究其原因我也不是很明白為什麼要這樣搞，在此過程中並不強調functional analysis的存在意義，反而格外注重numerical analysis.無論是之前的linear algebra和後來的advanced linear algebra還有最後的advanced numerical analysis，都強調了其對於numerical analysis的重視程度。

這個是否可行，最終取決於人的天賦。

我想自認為智力水平不錯，但大一就被數學分析和高等代數按在地上強姦的數學系青年才俊也不在少數吧。

已經學了一堆基礎課，然後被顛覆性的泛函分析一擊斃命，從此希望與數學老死不相往來的大三學長也是大有人在吧。

ANYWAY，能不能以泛函分析作為起點，其實一點也不重要，其實有的國外的教材已經在數學分析中加入了大量實分析的內容。常規數學分析中的interval變成了set，直接干懵一票有志少年。。。。沒有運算的數學課，是枯燥的哲學課。。。

正如@dhchen所說的，學數學那一個分支，最好有一個非常具體的例子來支撐那些所謂抽象的框架。當你掌握了幾個例子之後，再回頭看抽象的框架，那幾個具體例子就基本被統一成同一個框架了，這樣做的好處是便於推廣。

所以，在吃掉抽象的框架之前，先把具體的例子掌握熟練。對付泛函分析亦然。