一個關於不動點的問題？

01-15

如圖

謝邀：

1。唯一性：設有兩個不動點 $x_1,x_2$ ,那麼 $d(x_1,x_2)=d(f(x_1),f(x_2))<d(x_1,x_2)$ 。所以 $d(x_1,x_2)$ 不能為任何非零的正數。所以， $x_1,x_2$ 相等。

2。當 $S$ 是緊的時候，我們來證明存在性。

$g(x)=d(x,f(x))$ ，這個函數顯然是連續的，那麼我們選取最小值 $x_0$ 。那麼，我們發現

$d(f(x_0),f(f(x_0)))$ 嚴格小於 $d(x_0,f(x_0))=g(x_0)$ 。這和 $x_0$ 矛盾，除非 $g(x_0)=0.$ 顯然，這個時候 $x_0=f(x_0)$

設 $S=(0,1), f(x)=frac{1}{2}x^2$ ,根據中值定理我們發現這個函數符合條件，但是它沒有不動點。同時，如果我們我們設 $S=[0,1]$ ，這個映射在這個空間上不是嚴格壓縮的，因為 $df=xdx$ 。可以發現它不是嚴格壓縮的，因為總可以找到靠近1的點 $x,y$ 使得 $|f(x)-f(y)|/|x-y| o 1$ 。

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回答匆忙，也許有問題，有問題的話，我晚上再回答吧。