經濟發展水平與人口平均預期壽命成正比嗎？

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答前聲明：

? 我是北大的學生，目前二年級。

? 這是北大世界經濟史課程的課程作業。

? 我的答案屬於個人原創，沒有剽竊。

題主想問的是人口預期壽命對經濟發展水平有沒有正的促進作用對吧，這一塊的研究並沒有反方向的研究那麼多，但是其有趣程度絲毫不少。我在這裡介紹一下David de la Croix和Omar Licandro的Life expectancy and endogenous growth，以及Daron Acemoglu和Simon Johnson的Disease and
development: the effect of life expectancy on economic growth兩篇文章。前一篇是理論模型，後一篇是計量實證。從結論上說，兩篇文章都不認為經濟發展水平與預期壽命成正比。前一篇認為在經濟相對不夠發達的時候預期壽命會正向促進經濟增長，而當預期壽命高到一定程度後則會負向促進。後一篇則是完全反過來，認為對於窮國預期壽命的延長降低了人均GDP，而富國則會增加。

Life expectancy and endogenous
growth，by David de la Croix and Omar Licandro

這篇文章建立了一個多代累積的人力資本投資與經濟增長的模型。個體面對著一個預期的平均壽命和不確定的個人壽命，進行教育投資決策，而預期壽命本身是之前時期的壽命情況的總和，在數學上就是積分的形式。因此，這篇文章中的數學模型是時滯微分方程（DDE，delay differential equation），模型構建和求解都比較複雜。（所以非數（zhan）學（dou）大（ren）觸（yuan）可以考慮跳過模型直接看結論，本人的數學也並不紮實，若是這裡的總結有偏差還望諸位大神不吝指出）

模型：

1、不確定性下的人口 $mu （V_{t,z} )=e^{-eta(z-t)}pi,pi>0,eta>0$ （1）

表示在時刻t出生而還活到時刻z的人數；π表示每一時刻出生的最大人數，β為平均死亡率。

2、效用函數

$int_{t}^{infty } c(z,t)e^{-(eta+ heta)(z-t) }dz, heta>0$ （2）

表示個人的總效用，θ為消費的折現率，c(z,t)表示該個體在z時刻的消費。將個體的效用函數簡化假設為線性，於是消費c正比於效用u。這個方程在後面的求解過程中似乎用不到....

3、預算約束

$int_{t}^{infty } c(z,t)R(z,t)dz=int_{t+T(t)}^{infty}w(z,t)R(z,t)dz$ 其中 $R(z,t)equiv e^{-int_{t}^{z}(r(s)+eta)ds}$ （3）

R(z,t)表示z這一代人對t時期收入的折現，r(s)為無風險利率（假定有完全公平的保險市場排除風險）。T(t)表示個體接受教育的時長。w(z,t)表示工資，假定工資只是個體掌握的人力資本的函數： $w(z,t)=h(t)w(z)$ （4）其中w(z)表示單位人力資本獲得的工資

同時人力資本h(t)又是個體受教育時長的函數： $h(t)=Aar{H}(t)T(t), A>0$ （5） A表示技術參量， $ar{H}(t)$ 是另一個技術參量，反映技術隨時間改變，出生時間t本身對未來人力資本也有影響。

4、一階條件

邊際消費的機會成本等於收益，於是均衡處有r(z)= θ

同時有邊際教育投入的機會成本等於收益，於是有一階條件： $int_{t+T(t)}^{infty}e^{-( heta+eta)(z-t)}w(z)dz=T(t)e^{-T(t)( heta+eta)}w(t+T(t))$ （6）

均衡工資一定等於邊際的勞動產出，假設一單位有效人力資本的勞動轉化為一單位產品，則w恆為1，代入（6）有 $T(t)=Tequivfrac{1}{ heta+eta}$ （7）

這就得到了第一個重要結論，即平均受教育年限與預期死亡率負相關，也就與預期壽命正相關。接下來計算關於總產量與人均GDP：

5、總人力資本 $H(t)=int_{-infty}^{t-J(t)}pi e^{-eta(t-z)}h(z)dz$ （7）

t-J(t)表示t時刻剛進入勞動力市場的那一帶人，於是有J(t)=T(t-J(t))

引入關於t&<0時期的合理假設，並求一階導、求解微分方程最終得到

H(t)增長率的穩定值為： $gamma =-eta+frac{W(T^2Aeta)}{T}$

其中的W()為常微分方程W(z) e ^W(z)=z,的解

於是得到了第二個重要的結論，即人力資本的積累率與死亡率的關係，如圖：

Life expectancy
and steady state growth rate (A=0.3).

Life expectancy and endogenous
growth

先升後降的關係很明顯。也就是說，人力資本的積累在死亡率高的國家和死亡率低的國家分別與預期壽命正相關、負相關。

而關於H的進一步求解，作者指出穩定的解析解是不存在的，給定一組初值可以得到一個解如圖：

這裡的Ht是H(t)關於t的一階導，考慮到之前的假設，t=0的這個跳躍由-J0到-T時期出生的人口進入勞動力市場產生正向衝擊所致。而t=T時t時期出生的掌握更高級人力資本的勞動者開始進入市場，導致人力資本的積累轉而加快。

結論：

由這個模型，作者給出了他關於預期壽命與經濟增長的結論：預期壽命增加會使人們投入更多的時間進行教育，從而提高了勞動者的平均人力資本，但是隨著勞動人口平均年齡的升高，勞動力市場上的工人平均掌握的人力資本越落後，這會降低經濟增長率。數學求解得這兩種效應分別對應於欠發達國家和高收入國家。

Disease and development: the effect of life
expectancy on economic growth

By Daron Acemoglu and Simon Johnson

Daron
Acemoglu 是量化經濟史領域的絕對大佬，他和他的同事引入了經濟史研究的工具變數法，可以說為經濟史實證打出了一片新的天空。所謂工具變數，是當你所研究的自變數因變數之間的決定關係糾纏不清、或者內生性極其明顯的時候採用的一種計量手段。這篇文章也不例外，為了研究預期壽命對於經濟增長的影響，作者用了工具變數「預期死亡率」。這個名字聽起來和預期壽命像是同義反覆，但是本文中作者用了特殊的技巧定義預期死亡率，巧妙地讓它外生了。

具體來說，作者觀察到，在1930-40年左右隨著全球的藥物技術大爆發、DDT的發明、WHO的建立、世界政治環境的改變等，貧窮國家得到了來自發達國家在健康領域的救助，這種救助無關當地的經濟增長率，是一種外生衝擊，但是卻會直接的影響到當地人的預期壽命，見下圖。Acemoglu等人用計量技巧將這種衝擊量化，與之前當地相關疾病的致死率相疊加，形成本文使用的工具變數，取名為預期死亡率（Predicted mobility），它外生，並且不會通過除預期壽命以外的因素影響經濟增長，是理想的工具變數。

From Disease and development: the effect of life
expectancy on economic growth

模型

作為一篇計量實證類論文，這篇文章的模型非常簡單，從索洛模型出發

設 $Y_{it}=(A_{it}H_{it})^alpha K_{it}^eta L_{it}^{1-alpha-eta}$ 其中A、H、K、L分別為技術、人力資本、資本、土地，而 $H_{it}=h_{it}N_{it}$ ,其中N為人口。於是有： $y_i equiv log(frac{Y_i}{N_i})=frac{alpha}{1-eta}logA_i+frac{alpha}{1-eta}logh_i+frac{eta}{1-eta}logs_i-frac{eta}{1-eta}logdelta-frac{1-alpha-eta}{1-eta}logN$

其中δ為資本折舊率，考慮預期壽命xi也就是人均健康程度會影響人口數量N、人力資本h、以及通過改變受教育決策影響A:

$N_{it}=ar{N_i} X_{it}^lambda$ $A_{it}=ar{A_i}X_{it}^gamma$ $h_{it}=ar{h_i}X_{it}^eta$ $y_i=frac{alpha}{1-eta}logar{A_i}+frac{alpha}{1-eta}logar{h_i}+frac{eta}{1-eta}logar{s_i}-frac{eta}{1-eta}logdelta-frac{1-alpha-eta}{1-eta}logar{N_i}+frac{1}{1-eta}(alpha(gamma+eta)-(1-alpha-eta) lambda)x_i$

於是，y與x的相關性就取決於參量γ、η、λ以及α與β的大小。對於西方發達國家，經濟增長的主要來源不是農業，因此基本與土地無關，α+β趨近於1，這時yi與xi正相關。但是對於欠發達地區，經濟中主要部分就是農業，土地是極其重要的生產要素，於是（1-α-β）會大於零，甚至使得經濟增長與預期壽命產生負相關。根本上說，這種負相關是由於給定自然資源（如土地）一定，人口增長使得勞動的邊際產出下降，從而使人均產出下降。

計量：

計量部分即對這一影響究竟是不是負的進行回歸分析。直接對1930-2000年各個時段的低收入國家樣本中預期壽命與GDP總量的回歸得到了顯著的正相關。但是這種相關很可能是經濟增長促進了預期壽命提高所致。而預期壽命的回歸對人均GDP則得不到顯著結果，同時，預期壽命與人口總量、出生率的回歸結果也都是顯著正相關。這些又至少可以解釋為：1、人口的增長稀釋了預期壽命延長對經濟增長的促進，使得人均GDP基本不變；2、預期壽命本身負向影響人均GDP，但人均GDP卻正向影響預期壽命，兩者疊加使得人均GDP變化不大。

為了進一步確定決定關係，文章採用工具變數回歸，結果是：預期死亡率（IV）與平均預期壽命顯著負相關；與人均GDP顯著正相關；排除平均預期壽命，預期死亡率與人均GDP無顯著相關性；用預期死亡率預測平均預期壽命並與人均GDP回歸：顯著負相關。這幾步回歸既說明了工具變數的有效性，也明確了最終的結論：預期壽命與人均GDP是負相關的。

最後作者進行了穩健性檢驗，用預期死亡率（IV）與1940年以前的預期壽命、人均GDP數據做回歸，沒有發現任何顯著的相關性。這說明研究中的工具變數確實只在1940年前後的救助浪潮中通過影響預期壽命影響GDP。

結論：

對於欠發達國家，平均預期壽命對經濟增長有負向的作用。對於發達國家，在模型中可以看出這個關係應該是正向的，但是文中沒有進行實證檢驗，也不作為結論出現。

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關於這兩篇文章，首先它們都是非常牛的文章

前一篇文章把預期壽命和受教育時間聯繫起來，把不確定性和時間序列引入模型，很帥氣也很高大上，最後的結論也很符合直觀；而後一篇實證分析看似按部就班，但我第一眼看到就覺得非常亦可賽艇，接觸實證研究的人都知道，找一個好的工具變數非常難，找一批能回歸的數據又是另一個維度的難法，可是Acemoglu就是能做到，人家就是牛。

對於兩個看似截然相反的矛盾，我想也是很好理解的

第一篇文章的模型中從頭到尾只分析了人力資本，但是人的產出真的只決定於人力資本嗎？即使微觀的個人工資是的，宏觀經濟肯定不是，自然資源、資本積累都非常重要，我想這個模型第一沒有考慮大量靠農業為主要經濟形式的低收入國家，第二則錯誤地把個人的收入直接加總計算宏觀經濟，因為宏觀經濟的約束和微觀個人是不一樣的，個人的約束是收入，國家的約束是資源。說到底，這個模型適用於增長主要靠人力資本的經濟體，這些靠高新技術、創新拉動的，已經是很高水平的經濟了，又談什麼低收入國家呢。

第二篇文章數據漂亮邏輯嚴密，畢竟數據是讓人閉嘴的最好方式，但是我感覺說到底這個研究是一場自然實驗，實驗只做了一次，不可重複，時間還短。怎麼能說一個40年的經濟現象能展示一個顛撲不破的經濟史真理呢？即使無關變數控制得再好，總歸是個只有40年、幾十個樣本的小實驗。更何況短短40年還沒有一代人的時間，人力資本的積累效應還來不及發揮、資本的積累也達不到何意水平，就這樣認為預期壽命提高會減緩經濟增長還是有些欠妥。再有，人口增加限制經濟增長，這本質上就是一個馬爾薩斯的邏輯，用馬爾薩斯邏輯來解釋20世紀發生的事件雖說不是不可以，但是一旦國家從馬爾薩斯陷阱中跨出來，這套邏輯就顯然不適用了。預期壽命的增加既然會提高人力資本和技術水平，又能不能進一步促進經濟結構的改變呢？

我覺得我越說越邪乎了，凡是經濟增長的問題都似乎能衍生出無數的新的問題，有時候還是不能想太多，要多看書。。。我找出這兩篇文章與題主分享，希望能幫到你一點，也希望共同進步咯~。

PS：題主如果想了解有關經濟水平對人口壽命的決定作用，可以參看THE DETERMINANTS OF MORTALITY by David M. Cutler， Angus S. Deaton and Adriana Lleras-Muney.這是一篇綜述式的論文，展示了一些比較重要的決定平均預期壽命的理論。

最後一個PS：敲這麼多公式進來真是累啊，建議知乎加一個直接插截圖的功能。

參考資料：

[1]Life expectancy and endogenous growth David de la Croix and Omar Licandro,1999

[2]Disease and development: the effect of life expectancy on economic growth

Daron Acemoglu and Simon Johnson,2006

做一張圖來直觀說明：

橫軸是人均GDP (2011年國際美元)。

縱軸是預期壽命。

數據涵蓋1990年至2014年全球所有國家。

數據來源於世界銀行。

大體上看二者是正相關的。

不過貌似人均GDP有一個界限把數據分成了兩部分，界限大概是8000左右。

但是這些都只是初步的判斷，如果要更詳細的結論就需要對數據進行進一步的分析。

這是高中政治課本（第三冊）的問題！我是隔壁班的！我要告老師！我截圖了！

我國居民總體平均預期壽命在增加,但地區之間的距離在拉大。2000年,上海市為我國居民平均預期壽命最高省份,其男女性平均預期壽命分別達到了77.00歲和80.81歲;最低省份為西藏,其男女性平均預期壽命分別為61.55歲和64.08歲。

根據數據經濟水平和壽命是成正比的關係，經濟水平的提高必然帶動衛生醫療的發展，促成健康規律的飲食習慣

人口死亡率及平均預期壽命是反映人民健康水平的重要指標。同時這些指標水平受經濟文化的制約,所以也是經濟衛生文化水平的反映。

發明抗生素前和發明抗生素後？

分時期吧，不要懶惰自己找論文去