線性代數有什麼用？學習線性代數的意義在哪？

01-15

謝邀。學線性代數有什麼用？用處可大了！可以說線性代數不管是實用性上來說，還是從對未來更有用的課程的理解上來說，都是作用大大的。
這裡不得不提一句，國內的線性代數教材非常的差。翻一翻國內的教材，基本上著重點在運算上，然而在計算機如此發達的今天，絕大多數情況下怎麼去計算矩陣的乘積、矩陣的秩實際上並沒有太大意義，重要的是計算的原理。而線性代數中最為重要的理念，比如線性空間、線性變換對於理解代數甚至高層次的數學都是非常有幫助的。如果想仔細深入理解線性代數，推薦看國外的教材。
簡單舉幾個例子吧。
1、現在有兩個n維向量 $(x_1,x_2,...x_n)$ 、 $(y_1,y_2,...y_n)$ ，我們可以定義內積： $<x,y>=x_1cdot y_1+x_2 cdot y_2+...+x_ncdot y_n$ 。有了內積的定義，我們可以另外定義兩個概念：距離和正交。範數可以定義為： $||x||=sqrt{<x,x>}$ ，相應的距離可以定義為 $d(x,y)=||x-y||$ ，兩個向量x和y正交如果： $<x,y>=0$ 。

現在假設有n個向量： $e_1,e_2...e_n$ ，且滿足： $<e_i,e_j>=0$ ，那麼我們說這n個向量組成了一組正交基。下面討論規範化的正交基，即 $||e_i||=1$
現在定義 $a_i=<x,e_i>$ ，那麼可以得到 $x=sum_{i=1}^n a_icdot e_i$ ，或者寫成：
$x=Ea, a=(a_1,a_2,...a_n)$ ，同時有 $E$ 。
好了，那麼a就是x在由 $e_1,e_2...e_n$ 組成的坐標系中的坐標。最簡單的比如 $e_i=(0,0,...1,...0)$ ，也就是我們經常使用的坐標系。
說這麼多有什麼用呢？你可能還記得傅里葉級數。好了，我們現在把任何一個函數想像成一個向量，我們找一組函數，比如 $sin(nx), cos(mx)$ ，我們可以知道， $int_0^{2pi} sin(nx)cos(mx)dx=0$
$int_0^{2pi} cos(nx)cos(mx)dx=0,n e m$
$int_0^{2pi} sin(nx)sin(mx)dx=0,n e m$
你想到了啥？對了。如果把積分看成是「內積」，那麼以上的sin cos函數就變成了一組正交基，再仔細看一下傅里葉級數的公式，傅里葉級數無非就是把一個函數往這個正交基上進行投影。所以傅里葉級數其實就是得到了一組「坐標」而已。當然了，這個坐標是無窮維的。學好了線性代數，一般意義上的n維空間能夠想像，擴展到無窮維的傅里葉變幻也就沒啥了。而一旦你掌握了傅里葉級數，那麼聲音頻譜處理、圖像壓縮等等一些初級技術，也就沒啥問題了。
2、現在考慮一個矩陣A，n-by-n維。一個x維的向量與其相乘意味著什麼？
$y=Ax=[a_1,a_2...a_n](x_1,x_2...x_n)$

也就是把A的列向量的一個線性組合。同時，A這個矩陣把一個n維空間的點x映射到了n維空間的另一個點y，我們把這種映射叫做變換。（關於線性變換，有一大堆可以寫的，在此不說了，理解了線性變換才真正理解了矩陣）
線性變換有很多實用的例子，比如最簡單的，如果我有一個圖像，需要旋轉、放大該怎麼做呢？用線性變換。比如：
$A=left[egin{array}{cc}cos heta -sin heta\ sin heta cos heta end{array} ight]$
這個矩陣乘以任意一個向量x，就把這個點逆時針旋轉了 $heta$ 度。以上也就是計算機處理二維、三維圖像的原理。
3、說起線性變換，有一類特殊的線性變換，叫做投影。比如我有k個n維空間的向量 $[x_1,...,x_k]=X$ ，我現在希望找到一個X的線性組合，使得新得到的點與空間上的其他點y距離最小。那麼可以證明，這個點為：
$hat y=X(X$
現在記矩陣 $P=X(X$ ，可以得到： $P^2=P, M^2=M, MP=PM=0$ 。
上面的兩個矩陣，P和M，因為其乘積等於其本身，所以成為冪等矩陣。冪等矩陣跟正交投影是一一對應的。
對於任何兩個向量 $x,y$ ，可以得到 $(Mx)$ ，所以經過M和P的變換之後的向量正交。
如果你仔細觀察，會發現以上推導的東西就是最小二乘法OLS。最小二乘法的很多優良性質都可以使用冪等矩陣推導出來，特別是小樣本性質，基本上離不開冪等矩陣。比如最簡單的，根據勾股定理：

$y$
如果把正交投影這個概念推廣到概率空間，那就是條件期望的概念了。什麼迭代期望公式之類的，都可以用這個正交投影進行類比。
4、說個實際點的應用吧。Morkov鏈相信大家都聽說過。如果向量 $x_t$ 代表了t期的狀態概率分布，根據馬爾科夫性的假設，下一期的狀態分布 $x_{t+1}$ 只跟上一期有關，跟 $x_{t-1},x_{t-2},...$ 都沒有關係，那麼可以把下一期的狀態分布寫成：
$x_{t+1}=Tx_t$
其中T為馬爾科夫矩陣，即第(i,j)個元素為從狀態i到狀態j的概率，且每行加起來等於1.
比如：
$T=left[egin{array}{ccc}0.8 0.1 0.1\ 0.2 0.6 0.2\ 0.1 0.1 0.8 end{array} ight]$
那麼一個自然的問題是，當t趨向於無窮，穩定狀態是什麼呢？很簡單，把T進行特徵值分解，對於特徵值為1的特徵向量就是平穩的分布，比如在這個例子里，平穩的分布是（2/5, 1/5, 2/5）。
另外一個有趣的例子是，如果T代表的不是狀態，而是幾個網頁。比如
$T=left[egin{array}{ccc}0 0.5 0.5\ 1 0 0\ 0.5 0.5 0 end{array} ight]$

這裡的T意味著，第一個頁面引用了第23個頁面，第2個頁面引用了第1個頁面，第三個頁面引用了第1、2個頁面，那麼這幾個頁面的重要程度如何呢？
這裡可以這麼想，一個無聊上網的人，從隨機的任何一頁開始看，並完全隨機的點擊頁面上的鏈接，那麼當這個無聊透頂的人不斷的點擊之後，這些網頁被點擊的概率分布是怎樣的？
同樣的思路，特徵值分解，得到最終穩定的分布為（4/9,3/9,2/9），那麼這些網頁的重要性也就評出來了。
這也就是Google的排序演算法PageRank的一個簡化版本

線性代數有什麼用？！
我讀書時懷有同樣的疑惑，苦於當年沒請教到好的前輩，不得其解。畢業多年重新翻起，為自己的後知後覺感慨不已：這是我見過最強大的語言！
我願用我所有的誠意向大學在校生及對數據分析有興趣的人給出建議：要學好這門課程，並且推薦David C. Lay這本《線性代數及其應用》和Gilbert Strang的公開課《線性代數》。某種角度講，它們帶給我的驚艷程度超過我在個人專欄里介紹過的所有作品，甚至包括哈耶克Hayek、KK等。
讀書時對於， $Ax=b$ ， $A=LU$ , $A=QR$ ， $A=USigma V^{T}$ 這些我不能說沒見過。但唯有在他們的引導下，我才逐步懂得：

空間化：這些運算本身變得立體起來，是線與面、甚至多維空間中的操作，如線性變換或空間投影等，而不僅是符號代換；

實用性：我終於知道他們在真實世界中的應用場景與巨大價值，小至配平化學方程式、計算體積，大至電學方程、動力系統、經濟均衡；

工程化：線性方程組求解是「真實世界」映射到「數據世界」的核心問題，高斯消元、克拉默法則、奇異值分解理論上都可行，但真正的差異體現在工程性能，各種矩陣分解都因此而來，它是理論進化的現實原動力。因此某種角度我覺得線代本身是一門演算法課程。

古語有云：看山是山，看山不是山，看山又是山。如果你認真學習，該會深刻體會這種感覺。別忘了，到時繼續推薦給身邊人。
P.S.關於國內外高等教育水平的差距我不想多說，來讓我們積極面對吧。
圖書鏈接：
https://www.amazon.cn/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%8F%8A%E5%85%B6%E5%BA%94%E7%94%A8-%E8%8E%B1/dp/B00116Q2RC/ref=sr_1_2?ie=UTF8qid=1461627813sr=8-2keywords=lay+%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0
視頻鏈接：
Gilbert Strang，麻省理工公開課：線性代數

知乎專欄：一圖一書 - 知乎專欄

Boring but important！作用大概相當於拼音於語文學習，單詞之於英語學習等方面...
然而普遍的現實是，當前的高校教育中，線性代數的教學存在較大的問題……
大一進校，在大部分學生對專業知識一竅不通，很多高中學生不知道線性代數為何物的情況下。學校直接把線性代數和微積分當成同樣等數學基礎課來教授，給人一種莫名其妙的感覺，甚至會給學生造成線性代數和微積分一樣就是普普通通的通識課一樣。學生在一片懵逼中，不知道線性代數啥用的過程中，被老師牽著鼻子走....老師也不會就其重要性做足夠的介紹與說明...
再者，線性代數本身具有較大的抽象性，概念較多，不是很好理解...…老師上課一般得講很多枯燥無味的公式推導....結果給學生一種：這課嘛，不就是幾個數據轉換嘛，考前刷幾道題，看一下就成了的誤解...
結果呢……多麼重要的一門課，直接被糟蹋的一塌糊塗....玩過Matlab或者R語言等工具的孩子應該知道，圖像處理和信息隱藏等的完全是基於矩陣....

世界是物質的，所有的物質是數據的。大量數據或者海量數據的處理與分析，用傳統的方法顯然是事倍功半……如果結合當前的分散式系統思想，優化演算法等，對數據的處理顯然會效率更高，作用更大....
再次，學過圖像處理的人都知道，圖像由像素點組成，像素的構成就是數據，就是矩陣，如果對線性代數不了解，玩得轉圖像處理無異於痴人說夢……
當前熱門得不行的機器學習，一般第一次課老師顯然會驗證有沒有線性代數基礎...
模式識別課的都一頁ppt：
結論是：不管以後性從事什麼工作，拚命學線性代數，越懂越好……最好多找類似的文獻或者擴展資料....大部分人一開始理解起來會比較困難，這時候，可以多參越相應的文獻，最好的方式可以用Matlab等數學模擬工具走一遍流程，感受一下其中的美妙...
否則，等到要用的時候自己一無所知，那時候就只能徒唏噓了....

你竟然問有什麼用！看圖不要說話

現在正在普適計算課上看坤博學弟總結的MIT線代筆記，該節內容教授剛好講了線代的應用。回答一下：

矩陣應用：圖與網路

一、知識概要

本節主要介紹圖與矩陣之間的關聯，利用矩陣說明圖的特點。這一節與之前幾節的區別主要在於，前面例子中的矩陣中的元素大都是為了說明性質編造出來的，而本節中矩陣中的元素都是來源於實際問題，更能體現出我們之前介紹的性質在實際問題中有什麼作用。

二．圖和關聯矩陣

本節中我們研究的問題都是基於這個與有向圖來研究的。那麼既然是有向圖，我們不難寫出它的關聯矩陣 A 如下：

可能有一些沒接觸離散數學的人會對關聯矩陣不是很熟悉，我在這裡簡單介紹下，上面 5*4 矩陣中，每一列代表一個節點，比如：第一列代表結點 1，第二列代表結點 2..以此類推。而每一行代表的就是一條邊的走勢，同樣，第一行代表邊 1 第二行代表邊 2..等等。這裡需要注意的是，每一行所代表的邊，體現在這一行元素上，表現為：該邊以哪一個結點為起點，對應的矩陣中該元素為-1，而以哪個結點為終點，對應矩陣中該元素為 1。
很好，我們現在從實際問題中抽象出了一個矩陣，接下來我們來研究圖（一）所代表的實際意義。
【例】我們假設 x 為每個結點上的電勢，研究 Ax = b 形式下，可以得到些什么定律。
（1）首先來研究 b 是零向量，也就是 AX 構成的零空間情況，這時我們要求解的是 AX = 0。聯繫我們之前學過的知識，不難得到：
由於 x 是各個節點上的電勢，很明顯，x 的解集代表了 b 是 0 時。各點電勢必須相等。我們接下來考慮，這代表著什麼。
我們都知道，電勢差和電流的形成之間有著直接關係，b= 0，說明我們求解的情況是各個邊上都沒有電流（或者說電勢差）的情況，而我們最後解得，各點電勢相等時，邊上電流為 0，符合我們的常識。
（2）b 如果不為 0，那麼我們可以通過特解 + 通解的方式求出不同 b 的情況下，方程對應的解。代表著不同電勢差情況下，各點電勢的大小。

三、實際應用的擴展

從上面的例子可以看出，矩陣不僅僅是為了表示方便，非常多以前學過的知識都能用線代思維體現出來。就算是現在最火的深度學習也是如此。
強烈推薦MIT線性代數課程：跳轉提示
更多筆記見：機器學習演算法與自然語言處理

那你知道計算機是怎麼「解方程組」的嗎？

在我看來，這是一門關於思維方式的數學課，而不是專註計算的數學課。
畢竟線性代數是人生中遇到的第一門抽象的數學課。
初學線性代數的時候，各種奇怪的概念接踵而至，不明所以，於是把自己埋進計算中。等到學完線性代數，才猛然發覺思維方式已經發生了變化。
線性代數教會你如何從具體問題中抽象出關鍵概念，如何抽象地思考問題，如何建立抽象的邏輯體系，如何尋找抽象概念之間的聯繫，最後如何將抽象概念對應到具體問題中。
以前覺得線性空間是個什麼鬼東西，除了裝逼一點用都沒有，後來發現線性空間怎麼到處都是，拿出來裝逼都已經不好意思了。。

很簡單，線性代數是統計學，運籌學，數值分析，計算機演算法，機器學習，大數據分析等等無數學科的必備基礎

推薦一本還沒出版的教材吧：
Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe
鏈接：https://web.stanford.edu/~boyd/vmls/
鏈接中有書的 draft 和相關課程等。

線性代數是區別於微積分這個系統的另外一個人類描述世界的有力武器。
有了線性代數，你可以簡便地描述晶體的各向異性、光在空間中的傳播、可以描述多維空間，這是微積分不能做到的。
我覺得我們從高中就應該學習線性代數，到大學才學確實有點兒突兀，使同學們難以適應，最大的誤會就是以為它只能用來解方程組。
然而，它作為人類認識世界的工具，不可或缺。
假如微積分是一把利劍，可以穿過一切盾牌，讓你在近身戰中稱霸。那麼，線性代數就是弓箭，讓你可以百步穿楊。
假如微積分是物理攻擊，可以給敵人造成有效傷害；線性代數就是魔法攻擊，可以給你接下來的攻擊創造有利優勢。
其他的學科我不清楚，我學過的光學、晶體學、量子力學都要用到線性代數，人們利用線性代數描述世界實現了我們認知的一個個飛躍。
另外，Matlab這個理工科常用的軟體就是基於矩陣的，它利用矩陣將我們學過的傅里葉變換、偏微分方程進行離散化然後在計算機上求解，可以實現各種物理場的模擬計算，幾乎就是所有數值計算的基礎。沒有矩陣，計算機就無法實現這些計算。
題主的誤會也是我之前的誤會，不過勸題主千萬不要墮入覺得學啥都沒用的淵藪。因為每學一個知識點，你就爬上了一座山峰，也許有人之後可以坐飛機和你飛得同樣高。但是，飛機不常有，而你永遠都在那麼高的地方。何況，飛機還有飛行高度的限制，以及油夠不夠。

矩陣的特徵值、特徵向量很有用。這裡有一個可視化的教程，解釋了這倆概念，也介紹了幾個基本用途。
Eigenvectors and Eigenvalues explained visually
再舉兩個更具體的例子。
1. 主成分分析
wikipedia.org 的頁面
Principal Component Analysis explained visually
2. 判斷一個無向圖是否為連通圖
比如左圖就是連通圖，即任意點之間都有路徑，右圖就是非連通圖。這種非常直觀的問題用計算機解決起來卻沒那麼直觀。一般人會想到用遍歷的方式解決。但其實還有一種方法，即計算圖的代數連通度。這個值的計算方法是圖的拉普拉斯矩陣的第二最小特徵值，大於零則圖為連通圖，小於零則圖為非連通圖。線性代數在統計和圖論上的應用還有很多，至少在我的領域，我覺得它比高數都有用。所以，不要輕視了。

記得三年前第一次專心的讀線性代數中的向量空間和線性無關的內容時，就直接遇到了實際問題。
學校宿舍下幾個台灣學生在苦惱無法打開郵箱。一個三位數字密碼鎖。需要先右轉，再左轉一個數字，再右轉。乍看起來是三維，需要嘗試1000次，這就是他們苦惱的原因。然而前兩位數字是成比例的，也就是線性有關。實際的只是二維，只需要嘗試100次。但由於是轉盤式。實際上最糟情況也僅需要轉10次就能破解。
後來在做語音識別等機器學習的內容，對線性代數的體會越來越加深。可以說每隔一段時間就對線性代數重新認識一次。線性代數是一種可以應用在各個領域的思考方式。但其本質究竟是做什麼用的？對於工科生而言，我們的目的是為了描述世界。
在不斷變化的世界使我們產生時間觀念。正確描述事物狀態及其不同時間下的變化至關重要。我們知道在三維空間下如何描述物體的位置。然而除了長寬高，世界上還有很多決定事物狀態的因素。如決定股票價錢的因素、決定天氣的因素。這些因素又該如何合理的描述？線性代數給了我們答案。

線性代數是有關任意維度空間下事物狀態和狀態變化的規則。

當以這種思考為出發點再次理解為什麼線性代數要定義空間，為什麼要在意向量之間是否有關，以及矩陣是什麼就一下子清晰了。
那麼矩陣究竟是什麼
線性代數是用來描述狀態和變化的，而矩陣是存儲狀態和變化的信息的媒介。
矩陣的信息可以分為狀態（靜態）和變化（動態）信息來看待。
矩陣的靜態信息
當把矩陣以靜態信息來看待時，其信息的側重點在於狀態二字。
坐標值與坐標系：
描述一個事物的狀態需要在一個選好的坐標系（什麼樣的向量空間）中進行，所以矩陣所包含的信息從來都是成對出現。因此基就是坐標系的信息，也可以將其拆分出來。
矩陣的動態信息
當把矩陣以動態信息來看待時，其信息的側重點在於變化二字。這時的矩陣可以看做是一個方程。
通過矩陣內所描述的變化規則從一個狀態變換到另一個狀態。變換可以理解為事物本身的變化，也可以理解為坐標系的變化。
矩陣乘法是什麼
矩陣乘法就是變化的行為。也就可以明白線性變換到底為什麼這麼重要。
靜態信息又可以看成是動態信息的矩陣相乘後得到的狀態，所以矩陣可以被分解。
秩描述的是一個矩陣內帶有多少信息，秩低則信息就少。
再看矩陣在自然界的存在形式，是否記得《黑客帝國》，其英文名字就叫Matrix，矩陣。
一會發現Matrix這個名字是多麼細思極恐。
所有生物和非生物的關係和變化都可以由矩陣來存儲，用矩陣乘法來描述。
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比如一個飛機是如何通過每個人的工作，工廠，技術環節，層層相扣而產生的。
線性代數雖然是描述線性變化的，但其思想確是給予人們在高維空間下描述事物狀態與變化的能力。
然而線性代數只僅僅是描述了狀態與變化。在不知道下一刻會進行何種變化，達到哪種狀態時，概率提供了我們決策的依據。
由於要給師弟師妹們講深層學習，所以我也把這些內容寫了下來，裡面有詳細的描述。數學零基礎的同學也可以看得懂串講線性代數、概率、熵 - 超有機體 - 知乎專欄

「而今天計算機沒什麼不能算的」，正是因為有了線代，計算機才能算這麼多。

線性代數的用處？用英文說，是cannot be over-estimated；用中文說，是罄竹難書。題主你好好想想，是學還是不學。

不同專業有不同的用法。我一直認為線性代數應該找兩個老師講，一個數學系老師、一個本專業的老師；或者開兩門課《理論線性代數》和《線性代數應用實例》。我補充一下在儀器領域線性代數應用的實例吧。
給一個高速旋轉的軸配平、以減少軸的振動，需要用線性代數求解粘貼質量塊的位置。車輪的調整中就是這樣應用線性代數的。
導航儀器會經常遇到類似這樣的問題，一個車上有3個正交的加速度計，知道這三個加速度計的輸出以及車的姿態，那麼車在東北天三個方向上的加速度是多少？在導航演算法特別是慣性導航中會用到大量線性代數的問題。
對於多輸入多輸出的系統，可以用線性代數建立狀態空間模型，然後分析控制問題。這種例子非常多，比如四旋翼的控制。
著名的卡爾曼濾波，應用在阿波羅飛船上，是用線性代數實現的。而且卡爾曼濾波也可以應用在飛機、導彈的組合導航上，這些都離不開線性代數。
最小二乘法，這個方法在高中數學講過一些，然而用線性代數形式描述的最小二乘法遠遠比高中的描述形式簡單。用於社會統計、儀器誤差建模等等。
很多有限元分析軟體是用線性代數的方法求解的。這些軟體可以在建築物、機械（如大飛機）的設計中校驗強度是否滿足需求。
另外我想介紹一些關於「線性」的知識。這個只是說明什麼是線性，不一定都和線性代數有關。
很多東西不是線性的，但是可以針對局部，用微分的思想在局部近似線性。比如線性電源就是讓晶體管工作在一個特定的範圍內。比如通過插值產生數控銑床或線切割的曲線路徑。

在微積分中，線性代數可以幫助定義 Jacobi 式，解決極值問題。

在解析幾何中，線性代數更好的抽象二次曲線、二次曲面，給出能描述它們本質的不變數、半不變數等等。

平面直角坐標系下，給定三個不共線的點，行列式可以優雅的表示它們組成的三角形的面積。

特徵值及其推廣概念可以用於統計模式識別。

矩陣變換如果加入齊次坐標的概念就可以很好的用於 GPU 中的圖形運算。

矩陣可以幫助抽象和表示電路中的二埠網路。

……

它寄託著人類理解這個世界的美好願望。
即使，它終會被吞沒在非線性的浪潮中，我們仍會銘記，在歷史的進程中留下的那光輝燦爛的一筆

感覺包括題主在內很多人對線性代數的理解都是矩陣的運算，然而線性代數作為目前數學家們唯一可以完全解釋的領域，自然不會那麼簡單。私以為線性代數里的重點是線性空間和線性變換，矩陣的運算不過是其衍生產物。矩陣的運算可以用計算機代替，但是學習和練習線性變換中鍛煉的抽象思維是很難用計算機代替的吧。
以及如果還要問學習線代有什麼用的話……
QM
QM
QM
重要的事情說三遍。當然這是從物理生角度出發的，在不同領域的人會給出不同的答案，但是不太會有人說沒用吧。

大一學線代的時候，也是一鍋粥，雖然最後考了個中等成績，但那時候也有和樓主一樣的疑惑
直到大二開始學習計算機專業課（這個我本身是有興趣，所以心裡障礙就小很多），學了計算理論中的問題規約，忽然理解了線代的思維，比如矩陣解方程組，其實就是把問題通過矩陣的形式轉為矩陣問題，從而將直觀的解法（如消元法）變成另一種等價的，但是更形式化的解法（矩陣的各種運算），你可能根本不知道矩陣的做法的意義，但是如果你能強記這些形式化方法，就能通過規約+解使得它用於很多實際問題
這種方式有什麼好處呢，舉兩個例子
一個是數據結構的紅黑樹，一開始學平衡樹，很多教材都會用AVL來做示例，因為AVL的平衡是很直觀的，直接記錄了兩側高度（或省點空間，記錄平衡因子），直接符合平衡樹的定義，學起來就比較輕鬆，而紅黑樹呢，有五條規則，然後一開始要花很大力氣證明符合這五條的就一定是最壞操作時間O(lgN)的平衡樹，之後呢，我們就把「要保持平衡」問題轉換成「要保持五條規則」，有什麼用呢？如果仔細研究過紅黑樹的平衡規則，會發現大部分時候我們都可以把樹的調整局限在一個很小的子樹模型，需要上濾的情況很少，你根本不需要考慮樹的兩側高度是否平衡，但是只要你按照規則來，得到的樹一定是平衡的，是不是跟矩陣做了一堆死記硬背的過程之後弄出x的解很類似
另一方面，有人可能說，我不用規約問題也可以直接求解啊，但是這樣一來可能有兩個困難，第一，現實問題可能是多種多樣的，你一個個去分析求解，可能不如你先規約到一個已有模型上來得快，第二，有的問題可能很難用計算機直接求解，或解法對計算機來說含混不清，對人很容易，對計算機很難，比如很多人工智慧領域的問題，而通過一定的規約過程（往往也需要近似），則可以讓這些問題的「智能過程」的解法「機械化」，這也是人和機器的區別，比如機器學習和數據挖掘，從數據中找規律，得到一個讓機器能識別的預測模型，從而讓機器表現的「智能」，其實還是機械化地執行演算法了

忘了從哪裡看到的
「線性代數是現代數學的語言」

推薦閱讀：

※為什麼正態隨機變數的二次型服從卡方分布？
※一個線性代數問題求解？