離散傅里葉變換跟連續傅里葉變換什麼關係，還有離散餘弦變換跟離散傅里葉什麼關係？

01-15

書上基本就一句話，在離散的情況下。。。。。
比如說為什麼這麼採樣，在一維情況下，為什麼N頻域和時域都是N個點。。。。
還有離散餘弦變換是傅里葉變換推出來的？？？離散餘弦變換不是對非偶函數也可以的嗎？

連續傅里葉變換對（CTFT）

略

離散時間傅里葉變換對(DTFT)

$X(Omega )=sum_{-infty}^{+infty }{x(n)e^{-jOmega n} }$

$x(n)=frac{1}{2pi } int_{0}^{2pi } X(Omega )e^{jOmega n} dOmega$

其中

$t=nT$

$T$ 為連續到離散的採樣間隔，

$omega =Omega /2pi$

然而，這兩個變換在計算機里都是不可以實現的（有積分，你可以理解為計算機只能做乘和加）。

另外，計算機也不能算無限長的序列，即離散傅里葉級數（DFS）。

$ilde{X}(k)=sum_{n=0}^{N-1}{x(n)e^{-jfrac{2pi}{N} kn } }$

$x(n)=frac{1}{N} sum_{n=0}^{N-1}{ ilde{X}(k) e^{jfrac{2pi}{N} kn } }$

但是機智的科學家們發現，

一個無限長離散周期序列的離散傅里葉級數也是一個無限長離散周期序列

這個結論很重要，我就不推導了，你有興趣可以自己推一下，很簡單，但請一定要充分理解這個結論，它是計算機進行頻譜分析的基礎。

所以對於一個有限長信號，我們可以將其抽樣，得到離散信號 $x(n)$ ,在周期延拓，得到離散周期信號 $ilde{x} (n)$ ,對其做離散傅里葉級數DFS，得到離散周期序列 $ilde{X} (k)$ ,取其一個周期為 $X(k)$ 。

當然，計算機仍然不能計算離散傅里葉級數，但是觀察觀察上面的離散傅里葉級數，發現這不是周期的嘛！取一個周期算就行了，反正不同周期內的求和都一樣，於是定義了

離散傅里葉變換（DFT）

$X(k)=sum_{n=0}^{N-1}{x(n)e^{-jfrac{2pi}{N} kn } }$

$x(n)=frac{1}{N} sum_{n=0}^{N-1}{X(k) e^{jfrac{2pi}{N} kn } }$

哎哎哎，你說這個上面的DFS長得沒啥區別啊，仔細看一下，上面的 $ilde{X}(k)$ 頭上有個波浪號，代表它是彎的，哦，不，是周期的，下面 $X(k)$ 的是非周期的。這裡應該補一張圖的，但我現在沒找到。

就是 $ilde{X}(k)$ 是一個無限長的周期序列，k取任意整數，而 $X(k)$ 是 $ilde{X} (k)$ 的一個周期， $k=0...N-1$

於是，我們得到了真正可以由計算機使用的離散傅里葉變換（DFT）。注意我上面說了，這個變換對只是科學家為了計算而定義出的數學變換，其沒有物理意義，而其餘的幾個變換都是時域-頻域的變換。

由於是一個周期的，所以時、頻域的點數都是N。

有如下關係

$t=nT$ ，t為連續時間，T為採樣間隔

$omega =2pi frac{k}{N} Fs$ ，fs為採樣頻率， $omega$ 為連續譜的頻率。

注意到，由於上面是取得從0...N-1的一個周期，而實際上應該是-N/2到N/2為模擬頻率對應的周期，所以DFT得到的譜應該有個翻轉,即從N/2到N-1對應的點應畫在 -1....-N/2。

離散餘弦變換就自己看吧，簡單很多。

以上。

ps，你是剛學到信號系統嗎？這些是數字信號處理的知識，以後會學到的。

另外學渣求關注，求討論問題，打這麼多公式真累~~~~

昨天複習DSP找到了這張圖

感覺一下想明白了

每個頂點為一種形式，每個平行於紙面的邊要麼是乘以一個衝擊串要麼卷積一個衝擊串

每個垂直於紙面的邊對應一種變換(經 @周輝提醒：

Source:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2%E5%AE%B6%E6%97%8F%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%85%B3%E7%B3%BB)

樓上說的已經十分全面了，我想補充說一點。對於離散時間傅立葉變換和連續時間傅立葉變換的關係，我有一個比較簡單的理解。離散時間序列就是對連續時間信號的周期採樣的結果，因此，離散時間序列等於連續時間信號乘衝擊串。將等式兩邊同時做傅立葉變換，等式左邊是離散時間傅立葉變換，對等式右邊利用卷積定理，時域相乘等於頻域相卷，便可以得到連續時間傅立葉變換與離散時間傅立葉變換的關係。由於移動端上無法編輯公式，原諒我在這裡寫小說。

另外再說一點，丁瑞同學提到，離散時間傅立葉反變換要對一個周期進行累加，我在學這部分的時候總是容易忘。其實有一個比較方便的記法。因為周期信號一般是功率信號，傅立葉變換不存在，必須進行加窗截取，使其變成能量信號，才能進行傅立葉變換。至於加窗的寬度是多少？由於周期信號一個周期便能說明這個信號的絕大多數問題，所以窗的寬度是一個周期就可以了。功率譜密度的定義與此類似，（不放公式真的不合適啊）題主如果感興趣的話，可以看看對於知乎上功率譜密度的討論話題，我在這裡就不再如此不專業的說了。

我也對這個問題困擾了很久，但是我感覺上面的回答不是令我很滿意。

如果你看過信號與線性系統分析(吳大正第四版) 這個書，那麼我下面說的應該很容易理解：

我的總結是，時域從連續到離散是通過採樣定理來實現的，但是不要去管採樣之後的傅里葉變換。然後頻域的離散是: DTFT 是一個周期的連續函數，說明了DTFT從時域的離散到了頻域的連續。

頻域的離散，是從DTFT到DFT 實現的，DFT是DTFT的離散取值。

所以他們的聯繫就是：時域的離散，然後時域到頻域的離散，分為兩個階段完成的。

自學就是比較老火，還是有老師帶比較好。

從信息不變的角度來考慮，一個在時域佔據N個點的一維離散序列，在頻域里自然也需要N個點來描述啦，N→∞時，也就變成了連續傅里葉變換。