N個隨機變數之間的相關性兩兩小於0.7 ？

01-15

我不是來騙答案的，請不要關閉這個問題
你有N個trading strategy，每個都產生3天的PnL(3個PnL，也就是收益)，求問你能否找出最大的N，使得這些strategy兩兩之間的PnL的Correlation小於0.7?

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這題目我覺得是不是少了條件？或者需要事先給出PnL的分布？
樣本量畢竟只有三個。

答案是7。

這個問題如果是面試的話還挺有意思的。先定義名字吧， $X_i$ 代表第 i 個隨機變數， $i in {1, 2, ..., N}$ ； $X_i^k$ 則是第 i 個隨機變數的第 k 個樣本， $k in {1, 2, 3}$ 。

首先我們先簡化這個問題：這個問題並沒有提到 $X_i$ 的任何性質，但是因為我們只關心他們兩兩之間的 correlation，定義是 $corr_{j, k} = frac{E[(X_i^k-mu_i) dot (X_j^k-mu_j)]}{sigma_i dot sigma_j}$ ，那麼我們可以不失普遍性地假設 $forall iin{1, 2, ..., N}, mu_i = 0, sigma_i=1$ ，因為這些都只是scalar，不影響相關係數。

註：此處的 $mu_i$ 和 $sigma_i$ 是樣本均值和樣本標準差，跟 $X_i$ 固有分布的性質不一定相同。

接下來我們就知道了，對於每一個 $X_i$ ，都有兩條性質：

$X_i^1 + X_i^2 + X_i^3 = 0$ （1）

$(X_i^1)^2 + (X_i^2)^2 + (X_i^3)^2 = 3$ （2）

（注：看來有好多人沒明白這倆式子是什麼意思，其實我只是把均值和方差用和的形式表達出來了。此處的 $X_i^2$ 的意思是 $X_i$ 的第二個樣本，而不是 $X_i$ 的二次方。至於為什麼可以設均值為0，方差為1上面也解釋過了，假如還是不明白請不要再問我了，謝謝）

那麼我們可以看出，如果把 ( $X_i^1, X_i^2, X_i^3$ ) 當成一個向量的話，這個向量首先在（1）所描述的平面上，並且在（2）所描述的球體上，那麼很顯然這兩者的交界是一個以原點為圓心，半徑為 $sqrt{3}$ 的圓。

以上是把這個問題標準化的過程。那麼問題就變成了，有N個由原點到上述圓周上的向量（標記為 $(x_i, y_i, z_i)$ ），求最大的N使得任意 i, j, $x_ix_j + y_iy_j + z_iz_j leq 0.7 * 3 = 2.1$ 。（3）

這就很簡單了。首先觀察到兩個向量之和的二次模為：

$(x_i+x_j)^2+(y_i+y_j)^2+(z_i+z_j)^2 = x_i^2+x_j^2+y_i^2+y_j^2+z_i^2+z_j^2+2x_ix_j+2y_iy_j+2z_iz_j$ ，而右邊的前六項之和我們已經知道是6，而由（3）得出後三項的和不超過4.2，也就是說我們現在需且只需要求上述向量集中，任意兩個向量之和的二次模（長度平方）不超過10.2。

這時候就該餘弦定理登場啦！設這兩個向量的夾角為 $heta_{i, j}$ （ $0< heta<pi$ ），那麼根據餘弦定理，這兩個向量之和的二次模：

$||v||^2 = ||v_i||^2 + ||v_j||^2 - 2cos(pi- heta_{i, j})dot ||v_i|| dot ||v_j||$

而我們已知 $||v_i||$ 和 $||v_j||$ 都是 $sqrt3$ ，帶入則知：

$6-2cos(pi - heta_{i, j}) * 3 leq 10.2$

即 $cos( heta_{i, j}) leq 0.7$ ，得知 $forall i, j, heta_{i, j} geq 0.7953$ ，也就是說任意兩向量的夾角不小於45.57度。

答案就很明顯了： $N leq frac{360}{45.57}$ ，取整就是7。

註：做完之後我覺得真·大神應該會直接跳到上述的倒數第二行，不過我只能隱隱約約感到和夾角有關係，具體還需要推導，所以寫出了啰啰嗦嗦的一大堆思維過程。

當我看到這個題目，第一反應是想起了一篇paper ^_^

The Failure of Long-Term Capital Management

http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=952512

學渣硬要回答這個問題無異於自取其辱。

我來回答的原因就是想告訴樓主，題目我看不懂。

貌似是World Quant的面試題。問最多有多少個n維向量兩兩相關係數小於給定閾值C，來源於多策略組合中控制風險的問題。

高中解析幾何題套了一件統計的衣服。

隨機變數的相關性是希爾伯特空間中的「餘弦」。與之對應，樣本的相關性是歐式空間中的餘弦（這個結論完全可以在高中解析幾何範圍里得到）。

那這個題其實是在問，單位圓上最多放幾個點兩兩間餘弦小於0.7。

但這個問題推廣到希爾伯特空間是沒有意義的（因為答案是無窮多），所以本質上和統計沒關係。如果把術語解釋清楚，頭腦聰明些的高中生都會做。如果出題人自己再糊塗一點，樣本相關性和隨機變數相關性不區分標記，這題就完全沒有考察價值了。

PS：

記隨機變數X的三個樣本為x1 x2 x3, Y的三個樣本為y1, y2, y3。xi, yi分別中心化後得到si, ti, e.g. s1 = x1 - (x1+x2+x3)/3。

顯然，x和y的樣本相關性為cos(s,t), s = (s1, s2, s3),

t=(t1, t2, t3)。不妨設s和t的長度為1。又s1+s2+s3 = t1+t2+t3 = 0，s和t都在同一個二維線性子空間中。

由此，s和t都在二維子空間的單位圓上，而兩者的餘弦即樣本方差。

因為

$corr_{i,j}=frac{1}{3cdotsigma_{i}sigma_{j} }( x_{i}x_{j}+y_{i}y_{j}+z_{i}z_{j})=frac{<X_{i}, X_{j}>}{sqrt{3}cdotsqrt{3} } =frac{<X_{i}, X_{j}>}{left|| X_{i} ight||cdot left|| X_{j} ight||}=cos( heta _{i,j} )leq 0.7$

所以直接到倒數第二行。。。

感謝@Jianchi Chen 拋玉引磚。。

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事實上,若對任意 $iin left{1,2,...N ight}$ ,有 $sigma_{1,2,...N}=sigma, mu_{1,2...N}=0$

則對於n維向量 $X_{i}=(x_{i}^{1}, x_{i}^{2}, ... x_{i}^{n})$ ,有

$left|| X_{i} ight||^{2} =sum_{k=1}^{n}{x_{i}^{k}}^{2}=nE(X_{i}^{2})=n(sigma^2+0^{2})=nsigma^{2}$ , $x_{i}^{k}$ 為 $X_{i}$ 的第k個樣本

那麼

$corr_{i,j}=frac{1}{ncdotsigma_{i}sigma_{j} }(sum_{k=1}^{n}{x_{i}^{k} x_{j}^{k}} )=frac{<X_{i}, X_{j}>}{sqrt{n}sigmacdotsqrt{n}sigma} =frac{<X_{i}, X_{j}>}{left|| X_{i} ight||cdot left|| X_{j} ight||}=cos( heta _{i,j} )leq 0.7$

亦即 $corr_{i,j}=cos( heta _{i,j})$ 恆成立。

但是更一般性的 $mu_{1,2...N} e0$ 並沒有搞出來這個結論，求高人指點，求拍磚

不過正如 @郭倞所說，這都然並卵。。