如何理解根軌跡中的相角條件？

01-15

在畫根軌跡時總是感覺莫名其妙，想深入的理解一下根軌跡中的相角條件和幅值條件是什麼意思？為什麼滿足這兩個就是在軌跡上。

根軌跡在複平面上，複平面上的點都可以表達成下面的形式：

$z=a+bi=left| z ight| imes (cos<z+isin<z)$

$left| z ight|$ 是複數z的幅值； $<z$ 是複數z的幅角；

特徵方程的形式之一就是：G(s)H(s)=-1;

那在複平面上就是：|G(s)H(s)|=1,同時&pi(2k+1);

也就是說，幅值條件和相角條件是特徵方程在複平面上的表示方式。

所以，滿足這兩個條件的值就是特徵方程的根。

================04/08/2015 再來補充================

看了之前寫的答案，感覺自己還是沒有想到本質上去。要解答幅值條件和和相角條件，我們先從幅值和相角說起。

這裡作一般性的討論，物理渣，發現給自己填了個大坑。。。

拿電路基礎原理為例，當一個具有一定頻率、幅值和相角的正弦波電信號輸入一個不太複雜的電路（包含電阻、電容和電感）並輸出後，我們測量這個輸出信號會發現，這個信號的頻率和原始信號的頻率一致，而幅值和相角都可能發生了變化。而且，由頻率響應可以知道，幅值和相角的變化與信號的頻率是有一對一的關係，其中包含的原理就是幅頻特性和相頻特性。這兩個特性，我們在控制原理中學過，可以使用bode圖表徵。

上面就涉及到一個原理，頻率不變性原理。光就遵循這個原理。上面的例子中的電路僅僅是包含阻抗的基本電路，因此輸入輸出信號的頻率一致。現在的變頻設備什麼的，電路中都有開關元器件，晶閘管之類。

那麼，在分析包含電阻、電感的電路時，通常都是把 $L$ 、 $C$ 表示成相量形式，即 $jwL$ 、 $frac{1}{jwC}$ 。這方便的把時域中的分析變換成了頻域中的分析，可以回憶一下，頻率 $w$ 在電路分析中是不是一個常數而不帶有其他係數，而往往最後的幅值相角都改變了，因此向量的形式簡單的寫作 $|A|cdot anglevarphi$ ，其中只有幅值和相角看不出頻率對吧。在控制原理中，我們討論系統的輸入輸出，都是放在了頻域中進行討論，運算元為 $s$ 。 $s$ 中包含了頻率元素 $w$ 。忘川孤帆的回答中提到（這裡稍微修改一下）， $s=sigma +jw$ ，這個形式在電路原理中便是阻抗的表示形式。

綜合上述電路基礎的例子，我們就會想到，傳遞函數既然用 $s$ 這個運算元來表示，其中就包含了相頻和幅頻的特性。對於一個確定的傳遞函數，在一定頻率下的幅值和相角自然也是確定的，在bode圖上找這個確定頻率對應的點就可以了。而且在頻域分析中，我們本來就是要分析傳遞函數對應系統在低頻、中頻和高頻狀態下的特徵，及其穩定性裕度。

在考察穩定性的時候，在頻域中分析。穩定不穩定，在時域中表示的就是，時域響應曲線發散不發散，收斂的快不快，波動的大不大。通過觀察系統傳遞函數的特徵方程的解，我們可以確定時域響應中的 $e^{-at}$ 、 $sin(wt)$ 、 $cos(wt)$ 各項。

（趕緊結尾）其實就是解特徵方程啦，只不過在頻率域中考慮這些問題，自然就有了相角條件和幅值條件。相角、幅值都是和某個頻率對應的嘛。（逃

==================許久之前的答案==================

首先得明白，什麼是根軌跡？

顧名思義，就是根的軌跡。

誰的根？系統特徵方程的根。

為什麼這根畫出來是軌跡？根軌跡用來幹什麼？都要明白…

特徵方程: 1+G(s) = 0，即有G(s) = -1，相角條件，幅值條件就這麼來的。

手機碼字，具體回去補充！

剛學到這裡，和題主一樣一開始對特徵方程、模值方程和相角方程的關係沒有太理解，後來思考了一下，把想到的東西做了筆記整理，正好和題主交流下哈～（雖然不知道題主是不是已經明白了哈～）