如何判斷一個命題是否為悖論？

怎麼樣的命題我們可以斷言它為悖論?

---

邏輯悖論分為兩種，第一種是有窮悖論，第二種是無窮悖論。

有窮悖論必然涉及自指，但是無窮悖論不一定涉及自指。

舉一個稍微複雜一點的有窮悖論作為例子：

• p：q 為真但是 r 為假。

• q：或者 p 為假，或者 r 為真。

• r：p 為真並且 q 為真。

我們可以將這一組語句表達為一個這樣的形式：。這種描述方式被稱為語句網。

• 語句網中的公式就是簡單的命題邏輯公式，但是額外加入了無窮合取連接詞（通過對偶可以得到無窮析取）。

• 形如 的東西是一個子句，代表命題變元，是一個公式。

• 語句網是子句的集合，其中子句需要滿足條件：如果和屬於同一個子句集，那麼和是同一個公式。換而言之，語句網中的每個子句的變元前綴不重複。

來考慮一個無窮悖論：

：對於任意 m&>n，都為假。

其中 n 是自然數。

這個悖論可以寫成這樣的語句網： 。

下一個問題是啥……啊……語義。

我想想看要怎麼樣講這個語義……

語義定義在一個框架上，一個框架是一個二元組，其中第一個項表示論域，是一個非空集合，而第二個項是定義在論域上的二元關係。可以用表示這樣一個框架。表示：對於某個確定的框架而言，如果兩點 u,v 滿足條件，那麼對於(u,v)來說，左邊成立當且僅當右邊成立。

賦值的概念被如下定義：賦值總是定義在一個框架上，它是一個的映射，其中是所有命題變元的集合。或者，可以將其拓展為一個，其中是所有公式的集合。對於複合公式，這是遞歸定義的：

• ；

• 。

令是一個框架，是其上的一個賦值。說這個賦值對於語句網是可容許的，如果對於所有子句都有：，這即是說：對於框架而言，如果兩個點之間有一個通達關係（準確來說是有），那麼v在中當且僅當u在中。

而如果一個語句網在一個框架上不存在可容許賦值，那麼這個語句網在這個框架上是矛盾的。如果一個語句網在極小的自返框架中是矛盾的，那麼它是一個悖論。（極小的自返框架需要滿足：對於每個點 v 都有，不過我不確定是不是只有一個點。）

那麼這樣就定義完了。這就是悖論的定義。對於有窮的情況有機械的判定方法，但是對於無窮的情況應該是沒有機械的判定方法的，因此需要證明。有窮情況的機械判定法就是列出從到的所有可能的映射 V，如果每一個 V 都不是可容許賦值，那麼這就是一個悖論。因此，如果你有n個命題變元，你只需要考慮2的n次方種可能性。

參考文獻：

[1] 熊明, 2014, 「悖論的自指性與循環性」, 《邏輯學研究》, 7(2): 1-19.

不知道這個鏈接能不能用： http://studiesinlogic.sysu.edu.cn:8080/ljxyj/CN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDFid=59

---

推薦閱讀：