數學極限問題，n次根號下n的極限值為1.求求解方法最多有多少種？

01-15

證明： $lim_{n ightarrow infty }n^{frac{1}{n} } = 1$
目前已經有夾逼定理和洛必達定理兩種思路的解題方法。
提這個問題的觸發點是有14級學弟詢問，告知洛必達，又問高中知識範圍內解答，告知夾逼定理。由此想探討其他更多的解題思路，思路是無限的嗎？

說個我高中時候想的做法

由均值不等式

$1leq n^{frac{1}{n}} leq frac {1}{n}[sqrt n +sqrt n + 1+1+cdots +1]$

其中右邊有 $n-2$ 個1.

稍作化簡就有

$1leq n^{frac{1}{n}} leq 1-frac{2}{n}+frac{2}{sqrt n}$

然後就顯然了

大一新生，剛接觸極限，假設他高中學過導數和初等函數。

考慮函數 $ln(x)/x$ 的單調性，單調有界必有極限。再證明 $ln(x)/x$ 極限為0，反證即可。

另外方法比如設 $n^frac{1}{n} =1+y_{n}$ ，那麼有 $n=(1+y_{n})^n$ ，二項式展開後省略項得到 $n>1+frac{n(n-1)}{2} y_{n}^2$ ，即 $left|sqrt[n]{n}-1 ight| =left| y_{n} ight| <sqrt{frac{2}{n} }$ ，然後走定義就好。

我覺得的比較好的方法是先證明下面引理

引理設 $(a_n)_{n=1}^infty$ 是一個正的實數序列，那麼下面不等式成立

$liminf_{n oinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}leqliminf_{n oinfty}sqrt[n]{a_n}leqlimsup_{n oinfty}sqrt[n]{a_n}leqlimsup_{n oinfty}frac{a_{n+1}}{a_n}$

根據這個引理立刻得到 $lim_{n oinfty}sqrt[n]{n}=lim_{n oinfty}{frac{n+1}{n}}=1$

手寫一種，班門弄斧，獻醜。

之前幾位答主的回答已經很好了，我再補充一個用單調有界原理的解法吧。

指數函數性質那裡是將底數當做常量，進行放縮易得不小於1

感覺上只用估計 $n^{1/n}$ 上下極限的範圍就好了

一方面它肯定比1大，下極限大於1

另一反面，他的上極限肯定小於 $1 + epsilon ,forall epsilon$ 這是因為

$n^{1/n}<1+epsilon Leftrightarrow n<(1+epsilon)^{n}$ ,當n充分大的時候這個不等式是成立的（右邊是指數，左邊是一次多項式）。故 $varlimsup n^{1/n} leq 1+epsilon$ ,自然小於1.

上下極限為1……所以為1

我的老師是用伯努利不等式推的…

利用等比性質