數學極限問題,n次根號下n的極限值為1.求求解方法最多有多少種?
01-15
證明:
目前已經有夾逼定理和洛必達定理兩種思路的解題方法。提這個問題的觸發點是有14級學弟詢問,告知洛必達,又問高中知識範圍內解答,告知夾逼定理。由此想探討其他更多的解題思路,思路是無限的嗎?
說個我高中時候想的做法由均值不等式
其中右邊有個1.
稍作化簡就有然後就顯然了大一新生,剛接觸極限,假設他高中學過導數和初等函數。
考慮函數的單調性,單調有界必有極限。再證明極限為0,反證即可。
另外方法比如設,那麼有,二項式展開後省略項得到,即,然後走定義就好。我覺得的比較好的方法是先證明下面引理
引理 設是一個正的實數序列,那麼下面不等式成立根據這個引理立刻得到
手寫一種,班門弄斧,獻醜。
之前幾位答主的回答已經很好了,我再補充一個用單調有界原理的解法吧。指數函數性質那裡是將底數當做常量,進行放縮易得不小於1
感覺上只用估計上下極限的範圍就好了一方面它肯定比1大,下極限大於1另一反面,他的上極限肯定小於 這是因為,當n充分大的時候這個不等式是成立的(右邊是指數,左邊是一次多項式)。故,自然小於1.上下極限為1……所以為1
我的老師是用伯努利不等式推的…
利用等比性質
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