如何直觀理解Wigner分布函數？

01-15

這裡的Wigner分布函數指http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_distribution_function.
Wigner分布函數在量子力學和信息光學中都有描述。
如何從信號處理的角度（時頻域聯合分析），或從量子物理的角度來直觀理解Wigner分布函數呢？

量子力學中的Wigner函數可以從經典力學中的相空間（phase space）想像，而最好的例子還是諧振子（harmonic oscillators）：是的，物理學家只懂諧振子。

如果我們把一個經典諧振子的相空間畫出，可得如下的圖：

圖片來源：

http://ictwiki.iitk.ernet.in/wiki/images/thumb/Im6-2.png/200px-Im6-2.png

相空間的軌跡是粒子的位置和動量隨時間變化的軌跡。在一時間點，粒子在相空間里只是一個點。

Wigner函數的圖有點像相空間。可是，經典力學是確定性的（deterministic），而量子力學是隨機性的（probabilistic），所以在一個時間點內，諧振子是一個函數而不是一個點。這函數和概率甚有關係，因為

$int dmathbf{p} cdot W(mathbf{x}, mathbf{p}) = langle mathbf{x} | psi | mathbf{x} angle$ $int dmathbf{x} cdot W(mathbf{x}, mathbf{p}) = langle mathbf{p} | psi | mathbf{p} angle$ $int dmathbf{x} dmathbf{p} cdot W(mathbf{x}, mathbf{p}) = 1$

這看似一個機率函數，但它有異於機率，因為函數可能給出負值，而且函數的輸入值是x和p，但在量子力學中， $[ x_i, p_j ] = i hbar delta_{ij}$ 。故此我們稱Wigner函數為準概率分佈（quasi-probability distribution）。如果把系統的初始態寫成跟古典類此的話，你也可看到Wigner函數繞圈走。大家可到此觀看漂量的圖：Wigner function tutorial

在光學中，激光是相干態（coherent state），是算符 $a$ 的特徵態（eigenstate）。所以光學的工作者喜歡用 $a+a^{dag}$ 和 $i(a-a^{dag})$ 去得Wigner函數。