為什麼要引入頻域來分析問題？

頻域比時域好在哪裡？

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傅里葉分析和應用

學過《信號與系統》和《複變函數》等課程的人往往會被許多問題所困惑，如：

（1）周期信號傅里葉級數中的傅里葉係數物理意義是什麼？

（2）頻譜表示什麼？

（3）通過頻譜我們能知道什麼？

（4）非周期信號的傅里葉變換到底是什麼意思？傅里葉變換的物理意義？

（5）複數形式的傅里葉變換的物理意義？

（6）對信號用頻域分析有什麼好處？

（7）為什麼周期信號的傅里葉變換在相應頻率處出現衝激函數？

上述問題儘管看上去有些零碎，其實它們是有聯繫的，下面，我從頭到尾把這些問題串起來，內容可能比較多，如果你想知道結果，則需要你耐心閱讀，並希望下面的內容能對你有所幫助，更詳細的內容和應用還請參見我寫的《信號與系統分析和應用》一書，本書在高等教育出版社出版發行。

一、周期信號的傅里葉級數和信號頻譜

1、周期信號的三角函數形式傅里葉級數和信號頻譜

（1）周期信號三角函數形式的傅里葉級數

請注意：為什麼我把周期信號三角函數形式的傅里葉級數寫成下面的形式，而不是公式（4.2-8）的形式？因為只有這樣才能充分理解信號頻譜以及頻譜的作用、傅里葉係數、非周期確知信號的傅里葉變換的物理意義，才能充分理解我寫的下面的內容。

可以看到，信號頻譜的作用就是用圖形（頻譜圖）或公式（向量形式）來表示組成這個周期信號的所有不同頻率的餘弦信號的「三參數」 （幅度、初相和頻率或角頻率）。從頻譜圖上，我們就能看到原周期信號含有的所有頻率的餘弦（或正弦）信號的幅度和相位的大小，也就知道了周期信號含有的所有頻率成分以及這些頻率成分對原信號的貢獻大小。上面圖（c）是將圖（a）和（b）合成一個圖（合成的原則請參見《信號與系統分析和應用》書）。

二、非周期確知信號的傅里葉變換

三、周期信號的傅里葉變換以及衝激函數的作用

五、其它函數的傅里葉變換及應用

《信號與系統》課程中還涉及到：

（1）
「自相關函數」的傅里葉變換；

（2）系統單位衝激響應的傅里葉變換；

（3）離散時間傅里葉變換DTFT；

（4）離散傅里葉變換DFT；

這些傅里葉變換都有其各自的物理意義和作用。

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簡單地說，就是線性時不變的系統，在頻域上是解耦的。

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這就跟為什麼要研究矩陣特徵值和特徵向量是一樣的問題。線性時不變系統的特徵函數是復指數函數。

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別的不知道，但在系統辨識與自動控制領域，很多時候是時域與頻域並用。

時域：邏輯性強，跟演算法直接對應起來，所以直接可implement。原則上適用與一切causal的系統；但往往數學意義大於物理意義，很多時候不夠直觀（對工程實行者來說），只能靠試錯而不是物理直覺來調參數。

頻域：物理意義明確，無論是對設計，還是分析，有工程經驗的一目了然，特別是Bode圖，在很多領域都非常重要；但頻域一般只適用線性時不變系統，在數字計算機時代，一般要轉化為時域（會有不同），再寫演算法。

再比如系統辨識，一般真正實際中能用的，多是靈感來自於頻域的一些方法，也多是轉為時域求解，然後寫成演算法。而檢測辨識出的模型，跟實際模型之間的誤差時，一般都是用頻域準則來做。

不僅限於時域頻域了，很多時候，我都是用物理直觀與否，來判斷一個方法好壞，而經過實際檢驗，基本上也是如此。物理上意義一定要明確。

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因為討論問題方便啊，信號的實質是不同頻率波的疊加，所以我們在分析信號時主要考慮其中不同頻率波的問題，所以用頻域很方便啊，就相當於直接給了你本質東西讓你來看。

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