开集在导函数确定的映射下的原像是否一定存在内点？

01-15

$f(x)$ 为定义在区间 $(a,b)$ 上的是实值可导函数，令 $g(x)=f$ ，若 $(alpha ,eta )subset g((a,b))$ ， $g^{-1} ((alpha ,eta ))$ 的内部是否一定非空
（由泛函分析相关知识 $g(x)$ 的连续点为稠密集，假如 $g^{-1} ((alpha ,eta ))$ 内部一定非空的结论成立，是否可以通过证明 $g^{-1} ((alpha ,eta ))$ 中有 $g(x)$ 的连续点来证明结论）

谢邀，这是个有趣的问题，直觉告诉我有反例，我帮你在mse上问了一下。下面是结果，根据Pompeiu derivative，我们知道存在一个如下的诡异函数 $f:[0,1] o[0,1]$ ,这个函数处处可微分而且导数 $g=frac{df}{dx}$ 都是非负的，但是它的导数可以在某个我们指定的可数稠密集 $E$ （比如有理数）上等于0. 设 $y=g(x)$ 是某个非负的值。那么我们考虑区间 $(0,2y)$ ,它的原像不能包含任何 $E$ 中的点（比如有理数），自然不可能有非空的内部了。