怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？

01-15

来看一副对联：

上下联说的基本上是对的（不考虑直线不相交、点重合等各种特殊情况）。

这两句话其实就是一个“对偶”，我猜测“对偶”这个词取名就来自于和中国诗歌、对联的类比（没找到“对偶”这个词的来历）。

1 对偶的历史

1.1 出现

18、19世纪的数学研究者发现，涉及平面图形的定理如果把“点”换成“线”、“线”换成“点”重述一遍，不但话谈得通，而且竟然是正确的。

举个例子，比如直线的方程为：

$ax+by=C$

图像是这样的：

上面是把 $x,y$ 作为变量画出来的图像，只是凭什么 $a,b$ 不能作为变量？

在 $ax+by=C$ 上固定一点 $A$ ，作出 $A_ xa+A_ yb=C$ （ $A_ x$ 是 $A$ 点的 $x$ 坐标， $A_ y$ 是 $A$ 点的 $y$ 坐标）：

看着也没什么了不起的。

但是，如果 $A$ 点运动起来的话：

可以看到：

$A$ 在直线上运动，可以认为运动的 $A$ 点就是直线 $ax+by=C$
$A$ 对应的无数条 $A_ xa+A_ yb=C$ 交于一点

上面两句话写成“对联”的话就是：

点动成线
线动成点

其实，文章最开头的“两点决定一直线”和“两线交于一个点”也可以从这里推出。

更进一步：

数学家把“点”和“线”的关系总结为对偶。

1.2 对偶的作用

有这么两个对偶定理：

圆内接六边形，相对的边的交点共线
圆外切六边形，相对顶点的连线共点

第一个称为帕斯卡定理，第二个称为布列安桑定理，图示如下：

帕斯卡定理于1640年发现，布列安桑定理于1806年发现，要是早知道“点线对偶”就不用等待100多年的时间了。

补充一点，这两个定理，中间还有“内接、外切”对偶、“相对的边、相对顶点”对偶，真的蛮像中国的对联一样，要求处处对偶。

我们可以这样总结，对偶的作用是：

证明了一个定理，则对偶定理也被证明了
如果布列安桑定理证明很麻烦，我们就可以转为它的对偶问题，去证明帕斯卡定理

1.3 发展

数学家的任务就是把刚才的发现给抽象出来，以便有更广的适用范围。我们来看看是如何抽象的

揭示点线对偶的实际就是直线方程：

$ax+by=C$

可以写成（ $f$ 是一个线性函数）：

$f(x,y)=C$

为了更广泛的表示不同维度的情况，把 $x,y$ 写作 $vec{v_{}}$ ：

$f(vec{v_{}})=C$

之前提到的“点动成线”实际上就是 $vec{v_{}}$ 在变化：

“线动成点”则是 $f$ 变化：

我们可以认为：

$V={vec{v_1}, vec{v_2}, vec{v_3}, cdots }$

代表点，而：

$V^*={f_1, f_2, f_3, cdots }$

代表线。定义 $V^*$ 为 $V$ 的对偶空间。

上面的定义虽然不严格，不过基本上就是线代里面的对偶空间了。

2 广泛存在的对偶

有了“对偶”的认识之后，我们发现现实中广泛的存在类似的“点线关系”。

比如做功：

$W=vec{F_{}}cdot vec{S_{}}=F_ xS_ x+F_ yS_ y$

其中 $vec{F_{}}=F_ xvec{i_{}}+F_ yvec{j_{}},vec{S_{}}=S_ xvec{i_{}}+S_ yvec{j_{}}$ 。

容易看出， $vec{F_{}}$ 与 $vec{S_{}}$ 相当于“点”与“线”的关系。

根据这个对偶可以得到一些物理结论，具体可以参看这里。

在很多学科中，还有各种各样的对偶关系，我也不是很清楚，这里就不举例子了。

3 另外一个视角

这个直线函数：

$ax+by=C$

如果把 $a,b,x,y$ 都看作变量，那么：

$ax+by=C$

实际上是一个四维空间的曲面。

不管固定 $a,b$ 还是 $x,y$ ，得到的直线其实都是这个曲面的一部分。

或许可以这么理解， $a,b$ 和 $x,y$ 之间的对偶，是因为它们处于更大的系统之中。

“对偶空间”是“线性空间”，它里面的元素是“线性映射”。

仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它，我们先说说“集合”：所有的“线性空间”都是“集合”，然而“集合”未必都是“线性空间”。比如{帽子，足球，鱼香肉丝}这样的集合就很可能不是线性空间。那么问题来了——

什么样的集合，才可以被称作是线性空间呢？

答：如果某集合对加法和数乘封闭，也就是说：

（1）任意一个元素加上任意一个元素结果仍然在集合里；

（2）任意一个数乘以任意一个元素结果仍然在集合里。

那这个集合就是一个线性空间。

比如，{0}这个集合只有一个元素，而且——

（1） 0 加上0，结果是0，在集合内；

（2）任何数乘以 0，结果是0，也在集合内。

所以{0}是一个线性空间。

而{0,1,2}这个集合，就不是一个线性空间。因为1加上2，结果是3, 而3却不在集合内。

如果你能够在{0,1,2}这个集合上，自己定义一种特殊的“加法”和“数乘”，在——满足交换律、结合律、乘法分配律，具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下，还能使得{0,1,2}中所有的元素满足对加法和数乘封闭的条件，那么{0,1,2}就可以被看做是线性空间。当然，你也看出来了，这非常的困难。事实上，线性空间是极其特殊的集合。

我们已经搭好了“线性空间”的概念，它就像游戏的场景，有了它我们才可以尽情的玩耍。下面来看一个更有意思的东西——线性映射。

我们继续用{0}这个最简单的线性空间，

然后给出一个线性映射——把{0}中的所有元素（也就是0啦）乘以1：

0 $ightarrow$ 0

然后又给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以2：

0 $ightarrow$ 0

然后又双叒叕给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以3：

0 $ightarrow$ 0

……

我们很快就发现，{0}这个线性空间上的线性映射竟然有无穷多个！如果我们这无穷多个映射放在一个集合里：{线性映射一，线性映射二，线性映射三…… }，那么，这个由“线性映射”构成的集合，是否也是一个线性空间？

答案竟然是yes！而且它就是{0}的对偶空间！

等一下——

如果这个集合是个线性空间，那么根据上文，它必须对加法和数乘封闭。可是数字之间相加，比如1+2，很好理解，线性映射也能相加吗？怎么加，结果是什么？

注意，上文中提到：

……你能自己定义一种特别的“加法”和“数乘”，在——满足交换律、结合律、乘法分配律，具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……

也就是说，我们可以在线性映射的集合上定义“线性映射的加法”！只要能满足那些要求就可以了！

下面用个例子来描述一下“线性映射之间的加法”：

线性映射二：x $ightarrow$ 2x ，线性映射三：x $ightarrow$ 3x，那么：
线性映射二加上线性映射三等于 一个新的线性映射：x $ightarrow$ 2x+3x

不难发现，这个定义是满足加法的那一票要求的。有了加法的定义，我们乘胜追击，再用个例子来描述一个数和线性映射相乘，

线性映射一：x $ightarrow$ x ，那么：
3 乘以线性映射一等于 一个新的线性映射：x $ightarrow$ 3x

然后就可以发现，{0}上的所有线性映射的集合：{线性映射一，线性映射二，线性映射三…… }

对加法和数乘封闭，也就是说，它也是一个线性空间，于是我们把它叫做{0}的对偶空间。

再回头看看本回答的第一句话：“对偶空间”是“线性空间”，它里面的元素是“线性映射”，这句话里其实还隐含了一个信息：我们在对偶空间里，定义了线性映射的加法以及数乘。

最后，更准确的说，对偶空间里的元素是“线性泛函”（linear functional），这是一种特殊的线性映射。

试答。。。

经典物理的"frequency space"（量子物理的momentum space）就是时空的对偶空间。这直接与傅里叶变换有关： $f(x)$ 是 $x$ -空间上的函数，而它的傅里叶变换

$hat f(xi) = int_{mathbb R^n} f(x) e^{-ilangle x,xi angle}dx$

应该看做是另一个空间（ $xi$ -空间）上的函数。这两个空间有个natural pairing（就是式子中的 $langle x,xi angle=sum_{i=1}^n x_i xi_i$ ），但实际运算中 $x=(x_1,ldots, x_n)$ 和 $xi=(xi_1,ldots, xi_n)$ 都是n个数，有必要区分吗？

一个解释是“单位”不同，更准确说是“量纲”不同。现实中的时间和空间，及其上的函数，是在给定了单位（还有原点）之后才能用数学表达。一般作为数学运算我们都忽略了单位，只做纯数目的运算。如果按照物理的思维习惯，每个式子的每个常量、变量都自带单位，只有相同量纲的量才可以相加或相等；而像三角函数、指数函数这类的“超越函数”只能用于“无量纲”的数上。所以傅里叶变换中的 $e^{-ilangle x,xi angle}$ ，x如果带长度单位， $xi$ 就要带[长度^(-1)]的单位。相应的对于时间， $e^{iomega t}$ 可以看做是频率为 $f=2piomega$ 的波，而频率的量纲就是[时间^(-1)]，如赫兹=每秒震动的次数。

现在回来看线性空间，我们发现单位的概念其实就是基。虽然已经有了原点，但在给定基之前，线性空间无法用数来描述（不要想象成 $mathbb R^n$ ）。给定一组基（如向东一米，向北一尺。。。），我们才可以用一组数来表示空间的任一点，这就是坐标（准确说是一组坐标）。注意坐标依赖于整个基（单独“向东一米”只能表示这一条线上的点），而且给定一组基和给定一组坐标是等价的。现代数学（从微分几何到代数几何）一个看似平平无奇却异常重要的启示：（每个）坐标应该看做是一个函数，从空间到 $mathbb R$ 或 $mathbb C$ 的函数。

那对偶空间是怎么定义的呢？其实“后现代”的观点这并非最重要的，重要的是它有什么性质，怎么和原空间“对偶”。（注意：对偶并不是说空间里的点“一对一”。或许可以理解成 $V$ 上的变换对应 $V^*$ 上的变换，即 $GL(V) o GL(V^*)$ 。）

简言之，基就相当于单位（准确说是一组方向和单位长），而对偶空间是一个具有“相反”量纲的空间。一边的基放大，另一遍就要缩小，这样natural pairing结果不变（所以叫natural）。

目前看到的答案似乎没有人提到无穷维空间，我抛个砖吧。 $V$ 的对偶空间 $V^*$ 是 $V$ 上所有有界线性泛函构成的集合，也就是，对于 $fin V^*,exists alpha>0,$ 满足 $forall xin V, |f(x)|le alpha||x||$ ，并且 $f$ 在 $V$ 上满足线性性。

同样地，我们可以定义 $V^{**}$ ，它是 $V^*$ 上的线性泛函。注意到 $forall xin V$ ，我们如果看 $x(f)=f(x),forall fin V^*$ ，那么 $x$ 就可以看作 $V^{**}$ 里面的元素，所以 $V$ 可以嵌入 $V^{**}$ 。但另一方面一般而言 $V^{**}$ 比 $V$ 都要大一些，因为 $V^*$ 自带完备性，这是 $V$ 不一定具备的。而且完备性不完全是造成 $V$ 严格包含于 $V^{**}$ 的全部原因——只有当 $V$ 上的单位球在弱拓扑下是紧的时候，才有自反性 $Vsimeq V^{**}$ 。所以严格来讲，对偶空间的对偶空间不是原来的空间，比原来的空间要大。

至于怎么形象理解……还是看看有没有别的答主能够给出更好的看法。

艰难地学习了两天对偶空间的弱鸡来抛个线性代数的砖吧……我只懂线性代数……

对偶空间 $V^*$ 的想法本身是很自然的，就是 $dim V=n$ 的线性空间 $V$ 上全体线性函数组成的（在通常的函数加和乘下）线性空间。这个空间其实就是全体 $1 imes n$ 的矩阵而已。那么自然的，对偶空间就是一个 $n$ 维的线性空间。注意在 $V$ 的一组基 $e_i$ 下，我们给出的任意一个赋值 $f(e_i)=eta_i$ 都唯一地确定了一个线性函数 $f(x=sum alpha_i e_i)=sum alpha_i eta_i$ 。那么自然地诱导出 $V^*$ 的一组基 $e^i(e_j)=delta_{i,j}$ ，这就称作 $e_j$ 的对偶基（互相对偶）。

那么下一个问题是，对偶基具有怎样的性质？对于 $V^*$ 的所有的基，与它相互对偶的 $V$ 的基的存在性和唯一性怎样呢？为了研究这个问题我们不得不研究如何从 $V^*$ 反推 $V$ 的性质。接下来有一个惊人的定理，我们开始以为 $V^{**}=(V^*)^*$ 的性质相当古怪。但是取 $e^i$ 在 $V^{**}$ 上的对偶基，这个对偶基应该有 $epsilon_i(e^j)=delta_{i,j}$ ，注意到这就是 $e^j(e_i)$ ，把 $sum alpha_i epsilon_i$ 改写成 $sum alpha_i epsilon_{e_i}$ ，考虑到这是从 $e_i$ 发生的对偶基，再把它写成 $epsilon_{sum alpha_i e_i}$ ，它有 $epsilon_{sum alpha_i e_i}(sum eta_i e^i)=sum alpha_i eta_i =sum eta_i e^i(sum alpha_i e_i)$ ！这指引我们，考虑映射 $g(x)=epsilon_x,epsilon_x(f)=f(x)$ ，不难证明这是一个 $V$ 到 $V^{**}$ 的自然同构。

我们得到了相当重要的结论： $V$ 自然同构于 $V^{**}$ 。这告诉我们， $V$ 也可以被看成 $V^*$ 的对偶空间，对偶性（在某种意义上）是自反的！

接下来再从 $V^*$ 反推 $V$ 的性质就像砍瓜切菜一样容易。对偶基的唯一性是平凡的，至于存在性，对 $V^*$ 的一组基 $e^i$ 取它在 $V^{**}$ 上的对偶基 $omega_i$ ，对每个 $omega_i$ 取它在自然映射下的原象 $e_i$ 。注意到 $omega_i(e^j)=e^j(e_i)=delta_{i,j}$ ，于是 $e_i$ 就是我们所寻找的 $e^i$ 的对偶基。

个人感觉，对偶空间最重要的性质就是对偶的自反性，这让我们能够从 $V^*$ 反推 $V$ 的性质。

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学了一个很有趣的证明啊，这个证明我没有完全理解，写出来分享一下。

定理： $mathbb{C}$ 上的线性空间必有不变的超平面。

证明：对算子 $A$ ，考虑 $A$ 诱导的算子 $A^*$ 的一个属于特征值 $mu$ 的特征向量 $lambda$ ，有 $A^*lambda x=lambda(Ax)$ ，它是特征向量所以 $A$ 在 $ker lambda$ 上是不变的，熟知 $dim ker lambda=dim V-1$ ，Q.E.D

这个定理有什么用呢？比如，由它马上就有 $mathbb{C}$ 上的矩阵都可上三角化，从而 Hamilton-Cayley 定理就是显然的了。

我还没能完全理解这个证明的思路……以后再来补答它的本质吧。

首先，对于有限维矢量空间 $V$ 而言，所有线性映射 $V omathbb{R}$ 构成一个矢量空间 $V^*$ 。这应该是很好验证的。比如线性映射 $f,g:V omathbb{R}$ 在数乘或相加之后 $alpha f+eta g$ 还是线性映射。

其次，从 $V$ 中任取一基底 ${v_1,v_2,cdots,v_n}$ ，总能找到 $V^*$ 中的 $n$ 个线性映射 ${v^1,v^2,cdots,v^n}$ ，使得 $v^i(v_j)=delta^i_j$ (kronecker记号，表示i=j时为1，否则为0)。换句话无非就是坐标投影， $v^i$ 的作用是取第 $i$ 个坐标。即 $v^i$ 将 $v=sum c_iv_i=c_1v_1+cdots+c_nv_n$ 映射到 $c_i$ 上。可以证明 ${v^1,v^2,cdots,v^n}$ 确实是 $V^*$ 的一个基底 (按定义证明即可，直观理解： $v^i$ 的线性组合=&>系数 $c_i$ 的线性组合=&> $v_i$ 线性组合映射到 $c_i$ 的线性组合=&>构造出任意线性映射 $V omathbb{R}$ )。这就说明了 $V$ 与 $V^*$ 的一一对应。

上面两点是抽象意义上的对偶空间。你如果想直观理解，就把 $V$ 想像成 $mathbb{R}^n$ 吧， ${v_1,v_2,cdots,v_n}$ 记成矩阵 $B=[v_1,v_2,cdots,v_n]$ ，则 $v^i$ 实际上为矢量左乘一个行向量，该行向量为 $B^{-1}=[a_1,a_2,cdots,a_n]^T$ 的第 $i$ 行 $a_i^T$ 。即

$a_i^Tv_j=delta^i_j$

所以这时的 $v^i$ 为 $v^i(x) = a_icdot x = a_i^Tx$ 。

更直白一点，对于 $mathbb{R}^n$ 的标准基底 ${e_1,e_2,cdots,e_n}$ ，其对偶空间 $(mathbb{R}^n)^*$ 的标准基底为 ${e^1,e^2,cdots,e^n}$ ， $e^i$ 的显式表达式为

$e^i(x) = <e_i,x> = e_icdot x=(e_i)^T x$

无非就是一个内积嘛。即 $e_i$ 的对偶矢量是由 $e_i$ 定义的内积 $<e_i,cdot>$ ，或左乘 $e_i^T$ 。这也是为什么会有配对函数 $<,>:V^* imes V omathbb{R}$ 的定义

$<v^i,v_j>=v^i(v_j)=delta^i_j$

它的记号与内积是一样的。这么写实际上将矢量与线性映射等同化了，两者地位相同 (潜台词是交换位置也无所谓)。即，一般的理解是映射作用于矢量，但是矢量不服气，我们都是一样多的，我为什么不能作用于你？我自封为映射的映射如何？所以，在同构的意义下

$(V^*)^*=V$

这个梗在C语言也有体现，比如数组取值的两种写法a[0]和0[a]都是合法的。窃以为，将数视为映射的映射，是思维的一次升华，在更高级的数学里经常这么干 (比如张量代数，微分形式)。注意哦，同构的意义下"乱来"并不新鲜，比如 $v^Tv$ 实际上是一个 $1 imes 1$ 矩阵，但我们经常又直接将它视为一个数。

最后说一点，理解了抽象定义，再来看具体例子是更吼的。先对抽象定义半懂不懂，再通过具体例子回味一下，才会有醍醐灌顶的感觉。线性代数并不等于矩阵，一开始就上矩阵是工程师的思维。比如证明对偶空间的性质时，如果 $V$ 是抽象的，你就不能直接用矩阵，还是老老实实按定义来吧。

添加前提：只在有限维内讨论…@玟清的答案已经非常之好了，我在这里再补充几个必要的细节：从定义出发，来说说为什么就如玟清所说的：

（问题一）dual vector也会构成一个线性空间，我们把它叫成dual space；

（问题二）为什么dual space V*与原空间 V维度相同（同构的）。

首先是dual vector的定义：given a vector space V with scalars C，那么V上的dual vector（或者叫 linear functional) $f$ 是一个V到C的线性映射。线性映射的含义就是： $f(pv+qw)=pf(v)+qf(w)$ ,其中 $p,qin C$ , $v,win V$ , $f(pv+qw),f(v),f(w)in C$ ,另外我们把所有 $f$ 这样的线性映射的集合称为 $F$ 。

现在我们任意选定 $V$ （可以假定是dim n）的一组基 $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ ，那么任意的 $vin V$ ，可以表示成 $v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+...+v^{n}e _{n}$

接下来，我们选出属于集合 $F$ 的一组特殊的线性映射 $e^1,e^2,...,e^i,...,e^n$ ,其中 $e^i(v)=v_{i}$ ，用大白话解释就是：我们选定了一组 $V$ 的基，所以对于 $vin V$ 有一组“坐标” $v^{1},v^{2},...,v^{n}$ ，线性映射 $e^i$ 就是把坐标中第 $i$ 个的 $v^i$ 拿了出来，如此而已。从这里我们也可以看出 $e^i$ 在 $V$ 选定了一组基后才有意义，否则哪里会有坐标让你拿出来。。。我们还容易得到 $e^{i}(e_{i})=1,e^{i}(e_{j})=0,i e j$ ，大白话解释就是 $e^{i}$ 去捞 $e_{i}$ 的第 $i$ 个坐标就捞到了1， $e^{i}$ 去捞 $e_{j}$ 的第 $i$ 的坐标就捞到了0...这个可以简单写成 $e^i(e_j)=delta _{j}^{i}$ ， $delta _{j}^{i}$ 这个符号叫Kronecker delta，含义的话应该很明显了。

再接下来我们考虑了集合 $F$ 中的一组特殊的线性映射后，开始考虑一个任意选定的 $fin F$ ，我们希望 $f$ 可以被特殊的线性映射 $e^1,e^2,...,e^n$ 表示（线性表示）。我们刚开始会关心 $f$ 作用在 $V$ 选定的基 $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ 上的情况，我们记 $fiequiv f(e_{i})$ ，显然特定的某个 $f$ 作用到 $e_{i}$ 上，就会是一个特定的 $fiin C$ 。

好了最终我们开始讨论一般的情况，任意选定的 $fin F$ 作用在 $vin V$ 上：

$f(v)=f(sum_{i=1}^{n}{v^{i}e_{i}}) =sum_{i=1}^{n}{v^{i}f(e_{i})} =sum_{i=1}^{n}{f_{i}v^i} =sum_{i=1}^{n}{f_{i}e^{i}(v)}$

再明确下我们得到的结论：

$f=sum_{i=1}^{n}{f_{i}e^i}$

此式非常重要，它表明任意 $fin F$ 可以被一组特殊的 $e^1,e^2,...,e^nin F$ 线性表示，所以 $F$ 就是一个线性空间，我们把它叫做 $V$ 的dual space（问题一得证），而“坐标”就是 $f_1,f_2,...,f_nin C$ ，它们就是 $f$ 作用在 $V$ 的一组基 $e_1,e_2,...,e_n$ 上产生的“值”，这个式子非常精彩，总觉得这里面我还没有挖掘出更多精彩的信息，如果有大神想到，请告诉我哦~~先orz为敬。。
接下来的问题很自然，那就是 $e^1,e^2,...,e^n$ 是不是线性无关的，也就是我们想知道它们是不是 $F$ 的一组基， $F$ 是不是dim n的（问题二）。

我们假设 $lambda _{1}e^{1}+lambda _{2}e^{2}+,...,+lambda _{n}e^{n}=0$ ，

则 $(lambda _{1}e^{1}+lambda _{2}e^{2}+,...,+lambda _{n}e^{n})(e_i)=lambda _{i}=0$ ，其中 $i=1,...,n$

所以 $lambda _{1},lambda _{2},...,lambda _{n}=0$

所以 $e^1,e^2,...,e^n$ 线性无关，它们是 $F$ 的一组基，dim F = dim V = n，问题二得证。
后面再补充一些说的吧，其实看待原空间与对偶空间正如 @玟清所说，两者地位其实是相同的，这个在引入内积空间后会更加清晰，之后有时间补充吧，然后，其实还有很多不懂的，请大家多多指教+补充。我的微信号是mubing_s，希望机器学习数学大神可以加我（最后orz为敬。。。）

我们令 $X^*$ 为 $X$ 的对偶空间。空间 $X^*$ 中的元素 $f$ 为 $X$ 上的有界线性泛函。

此时，我们把空间 $X$ 想象为一个人。但是想要了解人体内部的结构状况是很困难的，因为从外表看不到对吧。于是我们需要借助其他手段，比如：X-射线。每一个泛函 $fin X^*$ 都相当于对人体的某个断面做了一次扫描。而对偶空间 $X^*$ 就相当于把对整个人体的所有不同层面所照的X-光片给聚集在一起（类似于CT的原理）。

那么，我们的问题是：这些X-光片在多大程度上反应了人体的真实状况呢？

理想的状态下自然是，针对想要了解的组织，例如骨骼结构，所有这些X-光片加起来已经完全可以精确复原人体骨骼的精细结构了。此时，我们就可以考虑 $X$ 和 $X^*$ 是不是一回事。也就是说，骨科的医生看着你的X-光片就可以安排手术了，而不必先把你解剖开，并把肌肉都去除。

很幸运，有时候是可以做到的。比如对于实的希尔伯特空间 $mathcal{H}$ 我们有：

$mathcal{H}cong mathcal{H}^*$

其中， $cong$ 表明两者是等距同构的(isometrically isomorphic)，也就是在某种情况下，两者视为一样。所以，放心吧，通过看X-光片诊断是完全靠谱的 ~

X-光片子的例子似乎是源自我硕士时候的导师，至于是不是用来描述这个问题，比较时间太久已经忘记了。

用2D空间的例子简单说明。

$vec {e_1}, vec {e_2}$ 构成空间 $V$ 的基底。它的对偶空间 $V^{*}$ 可以通过以下方式构造：

数学表达式为： $vec {e_i}^{prime} cdot vec {e_j}=delta_{ij}$ 。

这样， $vec {e_1}^{prime}, vec {e_2} ^{prime}$ 构成了对偶空间 $V^{*}$ 的基底。如下图所示。

这么好的问题，竟然——没——有——人——邀——请——我！

你要形象地理解？其实你只要理解了对偶空间为什么叫对偶空间，形象什么的，根本就不重要。

那么就从对偶这个词开始说起好了。

对偶，在我的印象里，意思大概就是名词对名词，动词对动词，严格一点，最好食物能对食物，景物能对景物之类。

仔细思考一下，当我们求一句对偶的诗歌的时候，其实分了两个过程：

确定对应关系

根据关系找词

还是具体一点好了，比如一句诗歌

两个黄鹂鸣翠柳

首先我们心里得出的是这些（至少潜意识里是得出这些）：

第一个：数词；第二个：量词；第三个：形容词……

以此为基构造新的句子：

一行白鹭上青天

很显然对偶其实有两步，第一步，得到对应关系的集合，第二步，通过对应关系造句。最后的结果是两个句子构造一样，我们称之同构。

现在我们把这个概念引入数学中，就这么用：

第一步得到的东西我们就叫它对偶空间，你可以理解为如果要找同构的空间，那就要经过该空间去对偶。没错，就是那个“第一个：数词；第二个：量词；第三个：形容词……”，其实共轭空间也是这么理解的，这三个东西只是适用范围不一样，一个是向量一个是线性泛函，还有一个是……修辞手法，但核心意思都是一样的。

强答一下。

直接上图吧、其实我也不懂。

大概是对于有限维线性空间的对偶空间的定义吧。

其他情况还没涉及到。

图片拍自教材高等代数（北大第四版）

这应该是最基础的解答。没学到近现代的代数拓扑等，强答到此了。

没学好数学也不会法学。

若侵犯高等教育出版社或者北大编著小组等，

很抱歉，通知则删

简单理解如下，理解之后，关于对偶空间的性质就很trivil了。

一个维度为d的定义在域K线形空间V的对偶空间Vd是以维度为n的行向量为元素而组成的线形空间。这些行向量把V中的每个元素映射到集合K中某个元素上。

Vd中任意一个元素f满足以下映射

f：Vー＞K

f可以理解为一个n维行向量，f（v）属于K，v是V中的元素，可以理解为一个n维列向量。

所以把Vf中元素理解为n维行向量，把V中元素理解为n维列向量，二者的scalar乘积落在域K上。

建议看一下局部凸拓扑线性空间的对偶理论

参考用书 Wilansky 的Modern Methods of topological vector spaces 还有GTM003

还有康托洛维奇的泛函分析以及徐登洲的拓扑线性空间引论

主要这个东西讲的是一种与对偶对（两个所谓形成对偶的线性空间）相容的局部凸线性拓扑的不变性其中Banach Mackey定理阿劳格鲁布尔巴基定理 Mackey arens定理一步步的引入到研究局部凸对偶理论的问题当中去。浅显的说研究局部凸拓扑线性空间X上的一些性质了可以研究X的共轭空间入手。拓扑线性空间也是做广义函数论的基础。

一个关于V的对偶空间不严密的具体化的文学解释。

我能想到最形象的事，就是作V抽象的坐标。一路上与V对偶相伴，留下希尔伯特空间慢慢聊。

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以下只按形式理解。考虑特例，假设V有可数基，设ei为基底。只讲四句话：

x=sum ai ei

fi(x)=ai为坐标

任意f都是fi的线性组合。

放到希尔伯特空间里思考更具直观性。

列向量和行向量。

可以从微分形式的角度理解，具体下次补充。。。