如何證明斜率確定的直線過橢圓中心時被橢圓所截的弦最長？

01-15

我們數學老師說結論正確，但是沒有相關的理論支持，可是怎麼可能呢！

在圓上顯然成立。

橢圓只不過是對圓做一個縮放，此變換不改變平行線段的長度的相對大小（你對一條線段無論怎麼拉伸，中間的點始終在中間）。

用純高中解析幾何方法來解答一下：

i)斜率不存在時，結論顯然成立。

ii)斜率存在時，不妨設 $y=kx+d$ ，橢圓方程為 $frac{x^{2}}{a^{2} } +frac{y^{2}}{b^{2} } =1,left( a>0,b>0,a<br /> e b<br /> ight)$

聯立得到 $left( a^{2}k^{2}+b^{2} ight) x^{2}+2a^{2}kdx+a^{2}left( d^{2}-b^{2} ight) =0$

當 $Delta >0$ 時，直線與橢圓相交於兩點。

弦長為 $left| AB ight| =sqrt{1+k^{2}} frac{sqrt{Delta } }{left| a^{$ ，其中a"為該方程的二次項係數

化簡得 $left| AB ight| =sqrt{1+k^{2} } frac{2absqrt{a^{2}k^{2}+b^{2}-d^{2}} }{a^{2}k^{2}+b^{2}}$

當橢圓一定，直線斜率一定時，a,b,k都是定值，變數d影響弦長。從上式右邊不難看出，d為0時，弦長取得最大值 $left| AB ight|_{max} = frac{2absqrt{1+k^{2} }}{sqrt{a^{2}k^{2}+b^{2}} }$

證畢

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期待大神們有更優雅巧妙的解法~

直觀一點的說法是過中心的弦兩端點的切線平行, 所以其他平行弦都比它短.

把橢圓映射成圓？？？？

橢圓看成圓可解。。亦可看成拋物線。。

仿射變化