狄拉克函數證明？

01-15

求證該極限，沒有第一個等號

這個看起來有點像作業題的問題其實蘊含了很深刻的道理, Laurent Schwartz也是這麼想的

我們考慮函數的集合, 那裡面就是我們通常所說的函數們, 我么可以定義他們, 也許只在一個Lebesgue滿測度的集合上.

但是所謂的Dirac「函數」, 是一個幾乎處處為0的函數, 也就是說, 他的Lebesgue積分是0, 但是黎曼積分不能定義, 如果我們利用反常黎曼的極限的話我們得到0, 也就是說, 滿足Dirac函數的性質的函數使不存在的, 至少在Lebesgue可測的條件下.

然而, 我們想, Dirac函數並不是這麼定義的, 它的原本的性質是這樣的:

$int f(x)delta(x)dx=f(0)$

這個性質也在很多其他的地方見到, 比如說偏微分方程, 比如熱傳導方程, 我們有的時候把初始條件定義為一個 $delta$ 函數, 然後通過卷積得到方程的通解.

但是我們看上面的式子, 與其說 $delta$ 是一個函數, 不如說它是一個函數的函數

怎麼說呢:

$T(f(x))=f(0)$

定義了一個從函數到實數(別的集合)的映射, 這種映射我們看到是線性的, 並且當我們去一個函數空間比如所有連續函數, 然後定義這個函數空間的uniform拓撲的話這個映射又是連續的, 於是, 一新的數學概念就出現了, 泛函

泛函就是函數的函數, 但是通常我們研究的泛函都有比如說線性, 根據某種拓撲連續, 定義域足夠大比如包含了整個的連續函數, 可積函數, 可測函數之類的

-----------------------------那麼--------------------------------

假設 $f$ 是任何一個連續的可積函數

於是:

$int f(x)frac{epsilon}{x^2+epsilon^2}dx=int_{|x|<alpha}+int_{|x|geqalpha}f(x)frac{epsilon}{x^2+epsilon^2}dx$

第二項有個上界:

$int_{|x|geqalpha}f(x)frac{epsilon}{alpha^2+epsilon^2} dxleq frac{epsilon}{alpha^2+epsilon^2}||f||_1$

這個上界當 $epsilon$ 足夠下的時候趨於0

第一項我們來看:

$int_{|x|<alpha}f(x)frac{epsilon}{x^2+epsilon^2}dx=int_{|x|<alpha}f(x)frac{epsilon}{epsilon^2(1+(frac{x}{epsilon})^2)}dx$

$int_{|x|<alpha}f(x)frac{epsilon}{epsilon^2(1+(frac{x}{epsilon})^2)}dx=int_{|y|<alpha/epsilon}f(epsilon y)frac{1}{(1+y^2)}dy$

$epsilon y$ 的取值範圍被限定在 $-alpha,alpha$ 之間, 我們可以任意取, 由於函數的連續性我們可以讓 $f(x)$ 在我們的取值範圍界定在 $(f(0)-eta,f(0)+eta)$ , $eta$ 是任意小量.

然後上面的積分當 $epsilon$ 趨於0 的時候收斂到

$(f(0)-eta,f(0)+eta)int frac{1}{1+y^2}dy$

後面的積分利用三角函數變換可以結果是一個 $pi$

然後我們可以讓 $alpha,eta$ 都充分的小, 於是

$lim_{epsilon ightarrow 0}int f(x)frac{epsilon}{x^2+epsilon^2}dx=pi f(0)$

上面的結論對於任何的連續可積函數成立, 我們當然可以把上面的結果擴充到更大的函數空間, 這就是根據需要了, 就不用繼續了.