如何證明特殊常數 0.123456789 111213… 是超越數？

01-15

這個數叫錢珀瑙恩數,1933年Champernowne由提出, 當然本意是對正則數的一些研究...

然而 Erd?s 證明正則性是它被證明超越數10年後的事了....

1937 年, Kurt Mahler 證明了這是個超越數

過程極其繁瑣, 運用了 p-adic 等工具,這算是數論里比較高深的內容了.

On a class of transcendental decimal fractionsonlinelibrary.wiley.com

整本書都在說這個事

$Tiny{(你不會想要我簡述下這書吧? 自己去看)}$

當然其實有比較現代的證明, 使用 Roth 定理

但1955 年 Roth 定理才被證明 (這個值一個菲爾茲).

Roth 定理的一種表述是說任何無理代數數的無理度量都是2

那麼只要證明一個數無理度量大於 2 就能說明是超越數了

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X05800393www.sciencedirect.com

於是經過十幾頁的計算

$Tiny{(你不會想要我在這裡給你算一遍吧, 自己去看)}$

發現b進位的Champernowne數無理測度就是b.

10進位當然就是10&>2,所以是超越數

角豆麻袋, 那按這個說法二進位錢珀瑙恩數是個無理代數數?

它等於多少?

Emmmmmmm, Roth定理只是說了充分條件, 不是必要條件

我沒看到任何說這個數是超越數的文獻, 也沒看到誰說他是無理代數數

看上去像是超越數, 因為他的連分式展開會Booooom

怎麼著都不像代數數

但是呢

搞不好就是無理數

畢竟... $epi,e+pi,e/pi$ 里還有個無理數呢, 你看看誰最像...

無理ですね。。。

建議專題加一個抽象代數，和數分，微積分實在沒啥關係

這個常數叫錢珀瑞恩常數