克萊因瓶到底能不能製造，現在能買到的克萊因瓶難道是假的？

01-15

據說，克萊因瓶在三維空間是不存在的，可是我不是看到有現實的克萊因瓶可以買到嗎？仔細看，好像符合克萊因瓶的構造需求。
這裡面到底玄機在哪裡？

以下內容直接複製自百度百科：

在數學上，克萊因瓶是一個不可定向的二維緊緻流形，而球面或輪胎面是可定向的二維緊緻流型。如果觀察克萊因瓶的圖片，有一點似乎令人困惑——克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點佔據了三維空間中的同一個位置。但是事實卻非如此。
事實是：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，只好把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。用扭結來打比方。如果把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線，它並不和自己相交，而且是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，這是一個事實上處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。

有人說搜了也不懂，我就試著提煉一下（個人感覺扭結這個比方很形象）：

扭結：

是存在於三維世界中的幾何結構，它的閉合、連續、不與自身相交重合的。

如果要在二維世界中把它表現出來給你看，你會看到這樣：

在二維平面中它不得不成了不連續的斷裂狀態，或者是與自身重合。

（事實上上面兩張圖亦如是，只是因為它們的3D效果，姑且當是我們從圖中看到了一個真正意義上的扭結。）

所以克萊因瓶同理。

在三維世界中，將它表現出來是這樣：瓶頸穿過了自身與瓶底相接。

但是在一個真正意義上的，在四維世界中的克萊因瓶不是這樣的，它的瓶頸是通過第四維和瓶底相接的，並不需要穿過自身。

所以，真正意義上的、完全符合其幾何定義的克萊因瓶不能在三維世界中製造出來，但是這些製造出來的，它能表現出克萊因瓶的重要（而非全部）幾何特徵，以供人理解。這個再次類比回去就是，在紙上畫出來的一個扭結，並不完全符合扭結這個幾何結構的全部定義，但是它表現出了部分特徵，所以我們看到它的圖像，自然會懂這是一個扭結。

回答樓主的疑問，圖片來自wiki。

克萊因瓶的確可以買到，但是你會發現能買到的克萊因瓶，上面都開了一個讓人很不爽的洞。為什麼會這樣呢？咱們來看看它是如何構造的：

首先，題主要拿出一張矩形白紙，把左沿和右沿按紅色箭頭同向黏在一起，成為一個圓柱形的側面，這一步非常容易辦到。

然後，要把圓柱形的上底和下底黏在一起。容易想到的黏結方式是把圓柱掰彎然後連成一個呼啦圈形狀的環形（Torus），但是如果你仔細觀察上底和下底，就會發現黏結處兩邊的藍色箭頭是相反的。

要獲得一個Klein瓶，必須保證藍色箭頭黏結在一起時箭頭朝向相同。無論你怎麼試，這一點在三維空間中都不能辦到。所以只能退而求其次，在柱面上開一個洞，把一頭伸進去，從裡面黏上。

從上面的構造來看，真正的克萊因瓶（Klein Bottle）是光滑的，最多只有兩條黏接細縫，但現在多了個洞是咋回事！！！它們不是真正的克萊因瓶，只是一種三維空間無法順利表達它的妥協之舉。

根據上面的構造，克萊因瓶和莫比烏斯帶有一個相似的地方，就是不分內外面（圖片來自拓撲學與克萊因瓶）：

從上面的口進去，就從曲面外部光滑、順利地跑到了曲面內部，這一點在咱平時可見的三維幾何體上可不多見，它們內外分明。而且，真正的克萊因瓶是不開洞辦到這一點的！

以下是本人手繪的最簡潔的克萊因瓶理解方式。

莫比烏斯帶在二維空間中也不能存在，但它的投影可以存在，或者說我們可以在紙上畫出來一條莫比烏斯帶。克萊因瓶一個道理- -

克萊因瓶不能嵌入三維歐氏空間的證明有幾個，你可以證明歐氏空間中的超平面全部都是可定向的，然後說明克萊因瓶不可定向，這能處理掉可微的情況。

連續的情況可以試試Alexander duality, 你會算出來克萊因瓶的補空間有一個-1維的同調，這是不可能的。

克萊因瓶不能被嵌入(Embedding)三維空間，但是你看到的瓶子也不能說是「假的」。克萊因瓶可以被浸入(Immersion)三維空間。在浸入下，雖然克萊因瓶的拓撲結構無法保持，但是我們仍然可以得到一個在Tangent Bundle上的單射，保留克萊因瓶的幾何性質。

瓶子交叉穿插的部分理論上既是裡面又是外面，現在買的瓶子做不到這點。就像莫比烏絲環只有在三維才能存在一樣，你在紙面畫一個它的二維圖（投影），交疊的地方並不能真正符合既是正面又是反面一樣。

你買到的是克萊因瓶在三維空間上的投影

最近也在瘋狂理解這個模型，下面簡單解釋一下我的認識。

現在我們可以想想一個套管，簡單的地說就是一個粗玻璃管套著一個細玻璃管，如果細玻璃管的y兩端都變粗與粗玻璃管相接，那麼就形成了一個橫截面和縱截面均為兩條閉合曲線的封閉玻璃罐。

如果細心就會發現著個三維體形成的圖形都是封閉的且有內外之分。克萊因瓶也正是這樣，正是因為在三維條件下沒辦法表達它的細節的，正如上述的三維罐子的兩個截面的圖形也難以表達它的細節一樣。

這麼一個瓶子是有「內外」之分的。那麼克萊因瓶是什麼呢？克萊因瓶簡單來說就是沒有內外之分的瓶子，即它的內壁與外壁是相連接的，是延伸成為同一面的一個曲面。

這時候我們想像粗試管的管口延長，然後倒轉過來和內部的細試管口相接，這個過程不是粗試管凹陷到內部與細試管相接，而是粗試管延長城倒U形狀，細試管「穿過（其實不是穿過管壁，而是在四維里實現的一種轉彎）」大試管的管壁，與大試管管口對接。如圖，不穿過管壁而實現A和B口沿箭頭方向的對接，即是克萊因瓶。

這樣最初我們設想的封閉的、截面為U形的瓶子的內壁和外壁就連接在一起了，也正是符合「不分內外」的克萊因瓶定義的瓶子。

萬能的淘寶有的買，甚至還有更奇幻的造型。。。

現在你能買到的克萊因瓶其實是「理論的上克萊因瓶」（僅能存在在四維空間）在三維空間中的一個投影（切面？）。

可以把克萊因瓶想像成一個高一個維度的麥比烏斯帶。

也就說，你可以幻想自己是活在二維世界的一個人，然後現在你所看見的三維世界中的麥比烏斯帶「投影」到二維世界中的樣子。然後把維度提高一度，想像一個四維世界中的克萊因瓶，「投影」到三維世界，就是現在你所看見的那個瓶子了。

在前面幾個回答的啟發下我好像開始懂了，歸納一下看能不能說清楚。

我們所看到的現實生活中的克萊因瓶其實是為了要在三維空間中勉強描述四維空間里的東西的一種妥協——這個瓶子穿過了自己。而在四維空間中這個瓶子不會穿過自己，構成這個平面的每個點都不會重合。

二維空間無法突破前後之分，即二維人要想看一張紙背面的內容必須把這張紙撕爛，在二維空間中你看見一個人的臉和胸部，你卻看不見他的後腦勺和屁股。而三維空間無法突破內外之別，即我們（我們就生活在三維空間中）無法看見一個封閉空間裡面的內容，比如我們需要用肉眼直接觀察我們的某一個器官，只能通過開膛破肚來實現。而四維空間里的人可以一眼就看清你的臉貌身材以及你的心肝脾肺腎。是不是好詭異？

學過拓撲學就明白了

克萊因瓶是緊緻二維封閉流形（曲面）的一種，網上圖片上那一種相當於四維空間在三維空間中的投影，由於瓶頸穿過了瓶身，導致它不是封閉的了，所以它就不是真正的克萊因瓶了

真正的克萊因瓶，通俗來講，瓶頸沒有穿過瓶身，但是瓶口又和瓶底相連，而且連完之後還要和輪胎面（同胚的意義下）不一樣，這在三維空間中是不可能的

實際上是我們增加第四個坐標，然後讓瓶頸穿過瓶身，然後調整瓶頸第四個坐標的值，這樣瓶頸可與瓶身不相交，再讓瓶口與瓶底相連，得到了克萊因瓶（最簡單的二維不可定向封閉曲面之一）

以上

現實生活中買到的也只是它在三維空間中的投影的模型

是的，克萊因瓶無法嵌入三維空間，所以在三維空間中是不能不自交的。市面上的克萊因瓶都開了個洞來避免自交，因此是不完整的克萊茵瓶。

除了Klein bottle還有klein hat，可以買來戴。

我想問一下，這個也許是巧合，但是我希望專家能解讀一下，就是首先，莫烏比斯環不能存在於2維，但是可以在三維，在三維中克萊因瓶的投影是兩個莫烏比斯環，那麼克萊因瓶在四維空間中，會不會也是不可能存在的物體的投影的組成部分？會不會在所有維度層面上也是同樣或類似規律呢？如果說高維方面無法證明，那麼低維方面可不可能成立？

我在宋朝買到個明朝的瓶子，難道還能是真的？

兩條莫比烏斯帶的的組合

http://v.youku.com/v_show/id_XMzkyNzk2Nzg0.html?xsharefrom=androidsharekey=cd8e375b4c0ad639e81d94e4e4b0de601

這個視頻看看吧，多個克萊因瓶。

一個二維平面里的漫畫人也是無法想像到莫比烏斯環的，但莫比烏斯環的確存在，我認為克萊因瓶存在的可能性很大，只是我們三維生物自身的局限限制了我們的想像力。