如何理解傅里葉級數分解中的吉布斯現象?

01-15

吉布斯現象: 用傅里葉級數展開有間斷點的函數時，取任意有限項合成，在原信號間斷點處都會有震蕩的峰起。當取的項數足夠大時，該峰起值趨近於一個常數，約等於該點跳變值的9%
如何從數學上理解這一結果?
以及，這一現象有沒有對應的物理含義?

Gibbs phenomenon

wiki介紹得挺多的了。。

wiki - Gibbs現象示例

從數學上來說，這個現象表明，用連續函數級數去展開一個不連續函數會有本質的困難，即使這個連續函數級數的極限是收斂到這個不連續的函數的。。

究其原因，大概是因為這個傅里葉級數的部分和，雖然【逐點收斂】但並不是一致收斂到這個不連續的函數的【Dirichlet conditions】。傅里葉函數的部分和，在間斷點附近有限大的跳變就反映了這一點，這是一個很好的例子，去區分【一致收斂】和【逐點收斂】。。

雖然這個跳變的大小有限，但是位置隨著部分和項數的增加而不斷地向間斷點移動，對於某個固定的一點，只要跳變的位置移動過了這一點，那麼級數的部分和就開始收斂【逐點收斂】了。。

比較物理或者直覺一些的理解，則是傅里葉級數的係數，在函數具有階躍變化時，衰減地很慢。。這就是另一位答主所說，有很多諧波成分。。

比如這個方波的例子中，傅里葉係數分別是1，1/3，1/5等等，收斂速度是跟調和級數一樣的，並不是【絕對收斂】。。相應地，如果一個函數的傅里葉係數是【絕對收斂】的，那麼這個傅里葉級數是【一致收斂】的。而對於不連續的函數，傅里葉係數則不會是【絕對收斂】的，那麼傅里葉級數也就不是【一致收斂】的。。

對於一個變化劇烈的函數，我們可以假想地用不同大小的窗口去觀察這個函數躍變的地方，當然，窗口越小，則意味著傅里葉級數的項數越大【不確定性原理】。如果窗口變得越來越小，而這個函數變化的程度並沒有變得越來越平滑，那麼自然地，傅里葉級數的係數就不會變得越來越小。。所以，這個現象產生原因則可以這樣理解為，傅里葉級數並沒有所謂的窗口。。如果改用小波分析的辦法去展開函數，那麼這個現象多多少少會被改善一些。。【間斷函數依舊是間斷的，不管用多小的窗口去看它╮(╯_╰)╭】

╮(╯_╰)╭沒啥乾貨，以上內容整理自wiki。。

成因很容易,就是截斷處為了擬合斷點產生了巨大的震蕩

但是計算出這個係數就非常困難了

令 $f:{{mathbb R}} o {{mathbb R}}$ 為周期函數,其有間斷點 $x_0$ ,且 $f(x_0^+)$ 與 $f(x_0^-)$ 有非零差值 $a$ .

即 $f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=a eq 0$

設 $S_N$ 為 $N$ 次傅里葉級數

那麼有:

$S_{N}f(x):=sum _{{-Nleq nleq N}}{hat f}(n)e^{{{frac {2ipi nx}{L}}}}={frac {1}{2}}a_{0}+sum _{{n=1}}^{N}left(a_{n}cos left({frac {2pi nx}{L}} ight)+b_{n}sin left({frac {2pi nx}{L}} ight) ight)$

其係數由下式給出:

$egin{aligned} {hat f}(n):={frac {1}{L}}int _{0}^{L}f(x)e^{{-2ipi nx/L}},dx\ a_{n}:={frac {2}{L}}int _{0}^{L}f(x)cos left({frac {2pi nx}{L}} ight),dx\ b_{n}:={frac {2}{L}}int _{0}^{L}f(x)sin left({frac {2pi nx}{L}} ight),dx\ end{aligned}$

考察最接近斷點的波峰, 顯然有如下極限存在:

$egin{aligned} lim _{N o infty }S_{N}fleft(x_{0}+{frac {L}{2N}} ight)=f(x_{0}^{+})+acdot G\ lim _{N o infty }S_{N}fleft(x_{0}-{frac {L}{2N}} ight)=f(x_{0}^{-})-acdot G\ end{aligned}$

其中 $G$ 表示吉布斯係數,分析以上極限可知:

$G=frac{ ext{Si}(pi )}{pi }-frac{1}{2}approx0.08949$

我也想知道這個係數 $G$ 怎麼算出來的,一點也不顯然...

瀉藥，感覺其他答主已經說的很好了，不過既然被邀請了，就抖個機靈吧。

這個原因本質上是因為頻譜節段導致的。那有限個諧波擬合周期信號，相當於對該周期信號的頻譜加了一個矩形窗。那麼首先給出一個結論。時域上有兩個周期為T的周期信號，他們周期卷積的結果(仍然是周期信號)的傅里葉級數係數有如下結論：

證明如下：

那麼反過來看，也就是說如果你拿兩個周期信號的頻譜相乘，那麼時域上即為這兩個信號周期卷積。

於是再回到問題，有限諧波擬合周期信號為什麼會出現尖峰現象呢?其實是因為有限諧波擬合可以看做頻譜和方波相乘，那麼時域上的信號就變成了原周期信號與抽樣函數(Sa)的以T為周期的周期拓展信號周期卷積的結果。一個信號但凡與Sa卷積就會出現很出名的振鈴現象。具體大家可以感受下，一個衝激信號卷積Sa的結果是Sa自己，可以看做是在衝激信號的位置形成了一股能量擴散，這種事情就和一塊石頭扔在水裡一樣。