拓撲向量空間的理論在數學內外有什麼應用？
上學期上泛函課最後講了general 的topological vector space，然而從pde課上來看主要用的還是各種帶norm和seminorm的normed vector space.目前也沒有看到什麼應用最general 的topological vector space理論的例子
概型範疇非常美好的一點是可以做纖維積。在代數上這等價於做張量積。而且在仿射的情形下，坐標環成為了兩個symmetry monoid Category，仿射概型和交換代數，的monoid functor。通俗得說，就是兩個仿射概型乘積的坐標環就是兩個坐標環的張量積。
然後光滑流形的範疇，乘積是可以定義的。另外，取整體光滑函數這個函子給出了一個從光滑流形範疇到交換代數範疇的全忠實函子，這個函子不滿，並且本質像落在Frechet交換代數里。所以顯然普通的代數張量積根本不能用。因為無限維完備空間的代數張量積鐵定是不完備的。
所以在拓撲向量空間上發展張量積是一定需要的。
如此，在有了拓撲向量空間張量積之後，就能給起碼Frechet交換代數定義symmetry monoid category的結構了。並且此時還有乘積流形的整體光滑函數是兩個流形分別的整體光滑函數的（拓撲向量空間的）張量積。基於拓撲張量積，才能定義超流形的乘積和導出流形等諸多概念。
而且在非緊李群的表示論里，也大量用到了不能賦范的拓撲向量空間，各種廣義函數之類。而且也有同樣的，對拓撲張量積的要求。
不過我想如果你要問非局部凸的拓撲向量空間，我倒是確實沒見過有啥用...
拓撲向量空間（以下簡稱tvs)是非常重要的一個數學對象，用處很大，我就舉一個例子：賦范線性空間的弱拓撲來解釋它的重要性，這裡我只是給出一個描述，所以在嚴格性上會松一點。
- 什麼是弱拓撲？ 設
是一個賦范線性空間(以下簡稱nvs)，而
是其上的全部的連續線性泛函構成的全體，那麼
形象的說就是 一個使得
,也就是TVS
上的一個線性泛函是連續的的當且僅當它是
- 為什麼要研究弱拓撲，大家吃飽了撐的嗎？簡單粗暴的一句話：弱拓撲有更多的緊集但是「可分性」又保持的足夠好。 一個拓撲越弱，它的集合就越容易是一個緊集，一個nvs裡面的單位閉球是緊的當且僅當它是一個有限維空間，無限維空間的閉球不是緊的，那簡直是玩個屁啊！緊集這種迷人的小妖精當然是越多越好了。不過，如果拓撲夠弱那麼單位閉球就是緊的了。比如自反空間的閉球在弱拓撲下就是緊的，希爾伯特空間的單位閉球就是弱拓撲下的緊集。這個優勢使得它是研究偏微分方程的一個非常重要的拓撲，你居然在pde上沒碰到，那隻能說你的pde課程太弱了，evans專門寫了一本講義談的就是weak convergence method，在pde的Galerkin方法，變分法，以及單調運算元解法中弱拓撲都是基礎性的東西，雖然做pde的很多人不深究弱拓撲，也不使用tvs的語言，把它包裝得不懂tvs的人也能「調用」，但是本質上就是tvs。那麼自然有人問了，為什麼不選更弱的拓撲呢？拓撲弱了會有幾個劣勢：第一，它不可度量了，它不是一個度量空間，而是一個（拓撲向量空間）tvs. 第二，它局部也許具有不可數基了，第三，它的「分別性」弱了。這是一個模糊的概念，解釋起來就是一個收斂如果是強拓撲下它能導出很多性質，如果是弱拓撲，它的性質就差多了。舉例一個很平凡的例子，在
空間中強收斂可以得到具有幾乎處處收斂的子列，但是弱收斂就不行了，比如
弱收斂到
但是它就沒有一個幾乎處處收斂的子列。
- 好吧，看起來弱拓撲還是有點用的，但是它就真的不可度量了，會不會是人類太弱了，沒找到它們的度量呢？答案是否定的。
也就是說一個nvs上的弱拓撲可度量當且僅當它是一個無限維空間，如果你只會nvs那一套，你還玩個毛！我們必須學習tvs了，因為弱拓撲這個好東西就是一個tvs，而且它是一個局部凸的tvs
4. 基於上述理由，為了弱拓撲也得研究一般的tvs，上述的不可度量性也是在tvs框架下證明的，凡是涉及到弱拓撲的深層知識，我們就需要使用tvs的語言，比如證明一個banach空間自反當且僅當它的單位閉球是弱緊的。或者，一個banach空間自反當且僅當它的任意有界子列都有弱收斂子列。簡單的說，就算只是為了透徹了解和使用這個拓撲，你也得學習拓撲向量空間。
值得一提的是，雖然我這裡討論的是nvs上的弱拓撲，但是其實弱拓撲可以在引入到更一般的空間上，甚至是任意向量空間上，也就是通過duality pair來引入弱拓撲和弱星拓撲。在具體經濟模型中tvs也是有用的，我看過一些，但是我不是這方面的專家，所以只舉出部分的例子，我只是看過抽象化後的數學模型，但是這些模型來自於資訊理論、個體決策理論、福利經濟學、金融經濟學中平衡現象、還有博弈論。當然了，這些東西，很多依靠凸分析的內容。
初學pde等理論的人是否需要精通tvs嗎？這個就不一定需要了，這類似於第一次學數學分析不需要精通實數理論，但是你要了解。你不精通tvs，只知道一些封裝打包好的「弱收斂」也沒錯，但是後期深入的時候自然最好學明白，這些下筆才能堅定無比。
拓撲對應著斂散性。
有的時候斂散性和範數沒關係，由一些更弱的東西決定。
為了給這些更弱的東西一個正式的漂亮的說法，開發出了弱拓撲，進而有了一般的拓撲向量空間理論。當然了，懂了這一點也沒啥用，反正pde能了解各種具體的空間，各種緊嵌入就夠了，哈哈。推薦閱讀：