關於數學的兩個問題？

01-14

1.假如有一條1單位長度的線段，線段上每一點到原點的距離相加，無數個這樣的數相加之後，等於無窮大還是某一個確定的數值呢？
2.假如未來物理學足夠發達，有一個足夠大的數，所有描述現實的數都比這個數小，例如原子排列組合個數之類的，都比這個數小，那麼無窮大還有存在的必要麼？

1,就是無限大。

2,不需要未來，只要對象是有限的都可以找到一個數比這個大。至於超大型數是否有意義？反正數學上很容易碰到超大和超小的數（接近0的程度）。無窮大的意義不在於和「現實」對應，而是處理各類問題（包括現實問題）中引入的一個很好用的數學概念而已，它的存在是非常必要的，從牛頓那個時代開始它就是重要的了。這個概念的發明遠遠早於「原子排列數」的發明，過去的人發明這個概念不是閑著蛋疼，不是為了比任何可能的數都大的。

建議題主學一學微積分，然後你就知道這個概念有多好用了。我相信一個接受過良好的高等數學訓練的人都知道無限的意義。就好像0不指代任何物體，但是依然非常有用和偉大。當然了，很多思想樸素的古人壓根不能理解這個概念，很多文明也沒發明這個概念，感謝印度人發明了這個概念，感謝阿拉伯人把這個概念傳播出去。也許未來，所有中學生都能接受這個概念就好像現在小學生接受0一樣吧。

先確定概念。我們這裡討論的「無窮大」不是一個數，是「可以任意大」的意思，更詳細一點的解釋就是「要多大有多大」，「不論選定了多大，都還能更大」。

把無窮大的正整數用在個數上，就成了「無窮多」，就是說可以任意多，也就是說不論你選定多少個，都還能有更多個。

然後看第一個問題：

假如有一條1單位長度的線段，線段上每一點到原點的距離相加，無數個這樣的數相加之後，等於無窮大還是某一個確定的數值呢？

這個問題很簡單，結果是無窮大。只需要考慮超過線段中點的那些點，這樣的點有「無窮多」個——事實上，光是距離原點 0.5、0.51、0.511、0.5111、0.51111、…… 的點就有無窮多個，這還沒到 0.52 呢。而這些點到原點的長度之和就是 0.5 + 0.51 + 0.5111 + 0.51111 + … &> 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + …。你取 10 個這樣的點，到原點長度總和就大於 10 個 0.5 相加，即大於 5；你取 100 個這樣的點，總長度就大於 50；你取的點越多，總長度就越大。不管想要多大的總長度 X，都能取 N 個點（讓 N &> 2X），使得總長度是 0.5 * N &> 0.5 * 2X &> X。也就是說，長度要多大有多大。這就是所謂長度「無窮大」。

再來看第二個問題：

假如未來物理學足夠發達，有一個足夠大的數，所有描述現實的數都比這個數小，例如原子排列組合個數之類的，都比這個數小，那麼無窮大還有存在的必要麼？

這個問題沒有前一個容易說清楚。但比較清楚的是，這不純然是一個數學問題。畢竟，數學本身是不關注自己某個概念有沒有「存在的必要」的，這種價值判斷同樣也不是物理學要考慮的，這其實是哲學天天要問的事情。

簡單地說，有必要。我們前面說了，無窮大是「要多大就有多大」的涵義，這是非常直觀而自然的概念——因為自然數就有無窮多個。如果把物理現實中能描述的最大的有意義的整數叫做 A，那麼你就是要求自然數從 0 到 A 為止了，不許有更多自然數了，也禁止人們說，A+1、A+2，因為那都「沒有意義」。如果物理學繼續發展了，有了新的概念或者發現，需要描述比 A 更大的個數，那又怎麼辦？無論你的 A 取多大，將來都可能不夠用。我們就是需要「要多大有多大」，也就是說，自然數必須有無窮多個。

而且，一個數學概念的有沒有必要存在，也並不是由物理學的發展決定的，數學自身的發展也需要建立很多概念。

不允許有無窮大，即使對小學數學體系也是毀滅性的。對整數而言，就是只允許有限個自然數，比方說就是 A。整數有限，分數也無從存在，因為分數將可以無限細分下去，有無窮多個——當然你也可以建立分子分母都只有有限的分數概念，但這會使分數的個數比有限個自然數的個數 A 還多，這太糟了，又超限了。同樣的道理，不僅無限小數，有限小數也不能存在。能合法存在的數字只有有限個整數。加法、減法、乘法和比大小是有限制的，因為 A+1 就沒辦法正常算了；除法更慘，因為壓根沒有分數。比小學數學更高級一點的數學，當然更受限制。這麼搞，數學就沒辦法建立了。

誠然數學源自對現實世界的抽象，不過只要邏輯自洽，也可以通過完全架空的方式建立數學概念和體系——至於這樣的數學概念是不是如實反映了現實世界的某個側面，是確切的、近似的還是歪曲的，都是另外的事，而且可能隨著人們對現實世界認識的深入而變化。即使整個宇宙的時空真的只是有限多個狀態的循環往複，也不影響數學自身創造出無窮這個概念出來。

數學創造出無窮的概念，即使真的和現實世界不符合，也是方便、有用的。如果現實世界的時空都是離散的、有限的，那麼就不能再有連續的線段的概念，只有排列得有點像線段一樣的離散的點，不能再有圓形的概念，只有一些離散的點。你甚至不能說把這樣所謂的線段平均分成兩段，因為這個所謂線段可能是由有限的奇數個點構成的，沒辦法平均分成兩份。一切時間、長度、面積、速度、溫度，在這個離散有限的世界中都是一個整數，都應該用數個數的辦法測量和計算——分數的結果都不允許。這樣的只有有限個整數，只能掰手指算術的小學二年級水平的數學在現實世界的應用中是毫無威力的。你必須允許有任意大的整數、任意細分的分數、任意精度的實數，你才能建立出一套像現在一樣有用的數學，然後你拿著這套有用的數學去描述和計算離散而有限的世界，可以在足夠小的誤差之內得到足夠準確的結果，這是很有價值的。——物理也一直是這麼使用數學的，畢竟，現實世界沒有理想的質點、沒有沒重量沒粗細的線、沒有剛體，也不影響我們用這樣的方式建模和計算，得到有用的結果。

這裡的兩個問題，或許是不理解無窮的概念，進而產生了逃避心理。但說到底，「要多大有多大」，這只是拿自然數來數數，永遠數不完的意思。這是最簡單直觀的潛在無窮的概念，其實並不需要真的去一次處理無窮多個對象，因而只是初等的概念。

關於無窮還有許多更高等的概念，比方說要正確理解實數、建立現代微積分，就不得不一次性處理無窮多個對象，進一步承認實無窮。到那時，就更容易理解兩千五百年前古希臘人芝諾提出的悖論是怎麼回事了。

1. 無窮大。

很簡單，任取直線上a點，則必有1-a點（不算直線端點）

這兩點線段長為1。這樣的線段對有無數對，自然總長度無窮大。

2.無窮大並不是固定的某個數字，而是動態的。它是大於已知數字的所有數字。將來的某天出現宇宙中可能存在的最大數字，它依然不能代表無窮大，無窮大表示比這個數字還要大的數字。

無窮大的下界在某種程度上代表了人的認知範圍。

在原始社會，也許100W就是無窮大；而當人們發現100W後，發現後面有100W零1

這樣無窮大又變成了大於100W零1的數字。

把無窮大看做驢子面前的蘿蔔，它就是比你知道的要大。這樣可以激勵人們去探索更大的未知領域。

1. 是無窮大。考慮0.9～1這一段，有無窮多個點，那麼長度不小於0.9個無窮大，還是無窮大。（0.9替換為任意大於0的數都可以）

2. 無窮大是純數學概念，是不能用物理來「發現」的。就算物理上搞出了「最大數」，數學上只要給那個數+1，就能得到更大數了。數學的無窮大是指比任何數都大，而不單純是比現實中的任何數都大。

如果無窮大沒有存在的意義，那麼第一問的答案是多少？

揣測下題主問的第一個問題的動機

題主是不是覺得你那種想加的方法就類似於在測量一個直角邊均為1的直角三角形的面積明明三角形的面積是個有限值但是為什麼這樣加會變成無限到底這種加法和測量面積的區別在哪？

如果題主是糾結這個事情那題主可以去學學實變函數就能明白了

我覺得核心差異在於

對自然數那麼多的無窮個數進行累加處理

與對實數那麼多的無窮個數進行累加處理是完全不同的

前者再很多時候都滿足小學就開始學習的疊加原理

而後者並不能需要藉助無窮集合的測度概念進行刻畫也就是所謂的積分了

有限和無限的差異的源頭就是上述表述的東西

1 還是無窮大，建議題主去學習一些關於極限或者微積分的知識，或者看一下芝諾悖論之類的問題。

2 像你說的這樣的數早就有了，比如葛立恆數，應該比人類目前物理的尺度都大的多。但是，無窮作為分析學中的基本概念，它的意義不會消失。

不請自來

（1）肯定是無窮大的，首先就是說這麼一個情況，我們都知道1+1/2+1/3+....+1/n這是一個發散的，趨近於無窮大，那在這些數字中間又能插上無數的數字，相當於無窮大的數又加上一堆數，你說是不是無窮大。

（2）任何數字，只要不規定區間，不管有多大，都能找到一個比他還要大的數字，所以無窮大是一直存在的。並且這個概念發明出來並不是用來說誰比誰大的，本身就是一個和0，i這些數字一樣，是用來解決問題的一個概念量，是很有意義的。這麼說吧，它從前存在，現在存在，以後還會永遠存在下去。

就說第一個問題吧，不可數個對象是不能夠作和的。不可數個對象求和據說也有定義，但是應該不是我們常規見過的求和了

在實數的情況下就是無窮；
現在數學上已經有了。考慮非阿基米德域的話，就有無窮大和無窮小了。